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ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter, da ich Probleme mit der partiellen Ableitung beziwhungsweise mit den finden der kritischen stellen Probleme habe :/

Sei f:R^2 -> R gegeben durch f(x,y)= wurzel(x^2+y^2)*e^-(x^2+y^2)

a)Berechnen Sie die Stellen der lokalen Extrema von f. In jedem Fall entscheiden Sie ob es sich um ein striktes lokales Maximum oder ein striktes lokales Minimum handelt. Finden Sie Stellen des globalen Maximums und des globalen Minimums von f.

Normalerweise habe ich kein Problem mit partiellen Ableitungen aber hier komme ich einfach nicht klar.

b) Finden sie Funktionen g:R^2 -> R der Klasse C1 mit den selben Stellen des lokalen Maximums und lokalen Minimums wie bei f.

Ich wäre echt dankbar wenn mir jemand helfen kann!
von

f(x,y)= wurzel(x2+y2)*e^-(x2+y2)

ist das so gemeint ?

f ( x,y ) = [ √ ( x^2 + y^2 ) ] * e -x^2-y^2

Ja genau so ist das gemeint

2 Antworten

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Hier meine Ableitung nach x

Bild Mathematik
Die Brüche in Klammern kann man noch auf einen Bruchstrich schreiben.

Für y wäre dasselbe durchzuführen.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

von 111 k 🚀

Um die kritischen Stellen zu finden muss ich ja jetzt die Ableitung gleich 0 setzen und nach y auflösen und da die e-Funktion nie 0 wird reicht es ja den zweiten Teil der Ableitung gleich 0 zu setzen. Dann bekomme ich y=wurzel(0.5-x^2) heraus wenn ich das dann aber in die Ableitung nach y einsetze bekomme ich irgendwie kein vernünftiges Ergebnis

Nein.
Du mußt eine weiter Ableitung nach y bilden.

Extrema haben die Eigenschaft
f ´( x ) =  0  und f ´( y ) = 0

Ich stelle mir einen Gipfel in den Alpen vor.
Dieser hat in Nord-Süd-Richtung die Steigung 0
und in Ost-West-Richtung ebenso.

Ich rechne gleich einmal weiter.

Meine partielle Ableitung ist soweit ok.

Bild Mathematik
Die Ableitung wurde auf einen Bruch gebracht und zu 0 gesetzt
und kann dann reduziert werden.

Für die Ableitung nach y heißt es dann
y * ( 1 - 2*x^2 - 2 * y^2 ) = 0

In den Klammern steht dasselbe.
1 - 2*x^2 - 2 * y^2  = 0
2 * y^2 = 1 - 2 * x^2
y = ± √ ( 1/2 - x^2 )

Dies müßte die Funktion für die Extrema sein.

Ich bin aber hier auch nicht so fit.
Ich versuche einmal die Funktion zu plotten.

Hier einmal der Graph

Bild Mathematik

Normalerweise habe ich kein Problem mit partiellen
Ableitungen aber hier komme ich einfach nicht klar.

Leider kann ich dir wohl nur bis hierhin helfen.

Ich komme auch nur soweit... Wenn ich jetzt y einsetze, kommt aber 0=0 raus. y-2y^3-2 (1/2-y^2)y -> 0=0...

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Ich substituiere


r ² :=  x  ²  +  y  ²   ( 1a )

F  (  r  )  :=  r  exp  (  -  r ²  )   ( 1b )



Es erweist sich jedoch als entscheidend wichtig, wovon wir reden. Da  F nicht negativ werden kann, besitzt es bei r = 0 mit Sicherheit sein absolutes Minimum; besitzt es dort auch ein lokales? Das hängt jetzt davon ab, wie du ( 1b ) liest.   Als ganz ( transzendente ) Funktion  z = F ( x ; y ) in den beiden Veränderlichen x und y ist F überall auf |R ² definiert, und diese Ebene besteht nur aus inneren Punkten. Andererseits kannst du r  >  = 0  auch auffassen als Abszisse einer Funktion y = F ( r ) in einer Variablen. An sich nimmt die ebene Kurve F ( r )  alle lokalen Extrema an, die auch das Gebirge F ( x ; y ) hat - mit einer Ausnahme: dem Ursprung. Der ist bei der Kurve nämlich bloß Randpunkt.

Grobskizze von ( 1b )  Für r ===> ( + °° ) verebbt der Graf von F in ( + 0 )  , weil die e-Funktion jedes Polynom unterdrückt. Wir erwarten


0  <  r ( max )  <  r ( w )    ( 2 )


Wir differenzieren ( 1b ) logaritmisch; das funktioniert aber nur für r > 0 ( warum? )


ln  ( y )  =  ln  (  r  )  -  r  ²      ( 3a )

y ' / y  =  0  =  1 / r  - 2 r  =====>    r  (  max  )  =  1 / sqr ( 2 )   ( 3b )



In dem ursprünglichen zweidimensionalen Gebirge musst du nur von der Kettenregel her beachten


( dr/dx ) = cos ( ß )   ;  ( dr/dy ) =  sin ( ß )    ( 4a )

F_x  =  [   cos ( ß )  -  2 r x ]  exp  (  -  r ²  )   =  0   ( 4b )

F_y  =  [   sin ( ß )  sin ( ß )  -  2 r y ]  exp  (  -  r ²  )   =  0   ( 4c )


in Übereinstimmung mit ( 3b )  Alle Maxima liegen demnach auf einem Kreis mit Radius r ( max ) Davon, dass der Ursprung stationärer Punkt sei, ist überhaupt nicht die Rede. Im Gegentum; hier passiert die ultimative Katastrofe:


grad  (  F  )  ( 0 | 0 )  =  [  cos ( ß ) |  sin ( ß ) ]   ( 5 )


Du kannst nicht zulassen, dass der Gradient von der Polarkoordinate abhängt. Der Grenzwert an der kritischen Stelle hängt wesentlich davon ab, von welcher  Richtung du dich näherst ===> wesentliche singularität. Wenn du das plottest, wirkt das immer so wie ein kalbender Gletscher.

Unsere Kriterien sind nur hinreichend, nicht notwendig. Sie setzen z.B. gewisse Differenzierbarkeitseigenschaften an der kritischen Stelle voraus, die hier einfach nicht gegeben sind.

Was ich schon oft mit Erfolg versucht habe; durch den kritischen Punkt eine Gerade legen und schauen, was passiert.


x := ß t   ( 6a )

y :=  µ t  ( 6b )


F [  x  ( t ) ; y ( t ) ]  = |  t  |  sqr ( ß ² + µ ² )  exp -  ( ß ² + µ ² ) t ²    ( 7 )


Mein Chef hatte " als " so schräge Sprüche drauf:

" Man kann sich drehen und wenden, wie man will - der Popo ist immer hinten. "

Nimm einen Strahl  ( 6ab ) der im ersten Quadranten verläuft. Natürlich kannst du diesen in den 4. Quadranten verlängern mit t < 0 ; aber die Betragsfunktion  in ( 7 ) ist nicht differenzierbar. Es hindert dich aber auch nichts, den negativen Strahl mit einem negativen Richtungsvektor bzw. positivem t zu beschreiben. Dannallerdings wird das Extrtemum im Ursprung zum Randpunkt; und für Randpunkte sind unsere Ableitungsregeln überhaupt nicht notwendig.

von 1,3 k

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