Differenzierbarkeit des Produktes von 2 in a nicht differenzierbaren Funktionen?

Question

Hallo habe eine Quiz -Aufgabe für die Differenzierbarkeit gestellt bekommen.

Und zwar: Seien a ∈ R und f,g : R→R in a nicht differenzierbare Funktionen. Dann ist die Funktion ( f * g) in a auch nicht differenzierbar.

Stimmt die Aussage , wenn ja eine begründung bitte und wenn nicht vielleicht ein Gegenbeispiel bitte.

Mfg

Answer 1

Kennst Du denn eine nicht differenzierbare Funktion?

Comments

√X ist z.b an der stelle 0 nicht differenzierbar.

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Hm... schönes Beispiel. Verwende es!

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√x * √x = x 

(x-0)/(x-0) = x/x = 1;

was sagt das jetzt aus ?

Mfg

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Es sagt aus, dass das Produkt deiner beiden Funktionen an der Stelle x=0 differenzierbar ist, obwohl beide Funktionen dort jeweils nicht differenzierbar waren.

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Das Gegenbeispiel funktioniert (noch) nicht, weil \(f\) und \(g\) auf \(\mathbb{R}\) definiert sein sollen (außerdem ist ja Differenzierbarkeit in Randpunkten immer so eine Sache...).

Man muss also die beiden Funktionen noch geeignet auf \(\mathbb{R}\) fortsetzen, sodass \(f\cdot g\) differenzierbar ist.

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Wie wär's mit \(f(x)=g(x)=\vert x\vert\) ?

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Hi, mit der Differenzierbakeit an Randpunkten hätte ich kein Problem, aber die betrachtete Funktion sollte sicher der Aufgabenstellung entsprechend noch in geeigneter Weise auf  IR fortgesetzt werden.

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Ja, die Betragsfunktion ist ein Gegenbeispiel. Der Fragesteller kann ja trotzdem mal versuchen, die Wurzelfunktion geeignet fortzusetzen. :-)

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was ist den |x| * |x| = |x^2| ??

wenn ja wäre  ja :( |x^2-0|)/(x-0) = (|x^2|)/x = |x|/1 = |x|

was sagt das nun aus?

mfg

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\(\vert x\vert\cdot\vert x\vert=\vert x^2\vert=x^2\), da ein Quadrat in \(\mathbb R\) immer nichtnegativ ist. Und \(x^2\) ist bekanntlich überall differenzierbar.