Differenzierbarkeit der Funktion f(x)= x* |x|, R->R untersuchen.

Question

Ich muss die Funktion f(x)= x|x|   R->R auf Differenzierbarkeit untersuchen und dafür aufzeigen an welchen Stellen die Funktion  differenzierbar ist und an welchen nicht.

Das Produkt besteht ja aus x * |x| . Wenn die beiden einzelnen "Funktionen" diffbar sind ist auch f(x) diffbar nach der Produktregel. Aber |x| ist doch nicht diffbar in x=0. Ist dann auch f(x) nicht diffbar in x=0? Mir ist das nicht klar.

Kann sich jemand die Funktion mal anschauen und mir weiterhelfen?

Answer 1

Aber |x| ist doch nicht diffbar in x=0. Ist dann auch f(x) nicht diffbar in x=0? Mir ist das nicht klar.

Da machst du am besten 2 Fälle und schaust, ob sich von links und von rechts die gleiche Ableitung ergibt:

Für x≥0 gilt

f(x) = x^2

f '(x) = 2x
f ' (0) = 0


Für x≤0 gilt
f(x) = -x^2

f '(x) = -2x
f ' (0) = 0

Die Steigung in (0/0) ist damit 0.
Somit ist f(x) = x*|x| differenzierbar in x=0. Für x≠0 ist die Diffbarkeit von f 'trivial'.

Answer 2

  nach meinen Überlegungen ist die Funktion diffbar. Für

  x < 0 gilt : x * lxl = x * x * (-1) = -x^2
  x > 0 gilt : x * lxl = x * x = x^2

  1.Ableitung
  x < 0 gilt :  [ -x^2 ] ´ = -2*x , da die eingesetzten x-Werte stets negativ
  sind ergibt sich f ´( x ) =l 2*x l
   x > 0 gilt : [ x^2 ] ´ = da die eingesetzten x-Werte stets positiv
  sind ergibt sich f ´( x ) = 2*x
  lim x -> 0- = l 2*x l = 0
  lim x -> 0+ = 2*x = 0

  mfg Georg