Frage zur Cramerschen Regel

Question

ich hätte da mal eine kurze Frage zur Cramerschen Regel. Um bei einem linearen Gleichungssystem an die Unbekannten zu kommen rechen ich ja zuallererst die Determinante der Koeffizientenmatrix aus. Im Anschluss daran setze ich ja spaltenweise die Inhomogenität in die Koeffizientenmatrix ein und berechne auch davon die Determinanten. Dann werden die einen Determinanten durch die anderen geteilt und ich habe die Unbekannten. Soweit habe ich das verstanden.

Aber was mache ich denn bei einem homogenen Gleichungssystem? Ich meine, wenn ich dann die Nullspalte in die Koeffizientenmatrix einsetze und nach dieser Spalte entwickle kommt doch jedes mal null raus.

Habe ich da einen Denkfehler oder kann ich die Regel nur bei inhomogenen linearen Gleichungssystemen anwenden?

Danke für Eure Zeit!

Comments

Ok, dann macht das ja Sinn. Klar, jetzt wo ich drüber nachdenke kann da ja auch nur die triviale Lösung bei entstehen, geht ja nicht anders.

Ich danke Euch =)

Answer 1

Jain.

Wichtig ist das die Determinante der Koeffizientenmatrix nicht null sein darf.

Wenn das andere Nullen sind ist das kein Problem. Dann hast du halt die Triviallösung. Ein Homogenes Lineares Gleichungssystem hat ja immer die Nulllösung als eine Lösung. Darüber hinaus gibt es nur noch weitere Lösungen, wenn die Koeffizientenmatrix linear abhängig ist.

Answer 2

Aber was mache ich denn bei einem homogenen Gleichungssystem? Ich meine, wenn ich dann die Nullspalte in die Koeffizientenmatrix einsetze und nach dieser Spalte entwickle kommt doch jedes mal null raus.

Ein homogenes lineares Gleichungssystem mit einer Koeffizientenmatrix, deren Determinante nicht Null ist, hat  immer nur die triviale Lösung. Warum dies so ist, hast Du dir gerade selbst gezeigt. Da wir das nun wissen, genügt es im homogenen Falle, die Determinante der Koeffizientenmatrix zu betrachten.