Geben Sie jeweils Basen von Ker F und Im F an.

Question

Aufgabe:

Durch die Abbildungsvorschriften

\( x \mapsto\left(\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 4 & 1 \\ 5 & 9 \end{array}\right) x, \quad x \mapsto\left(\begin{array}{llll} 2 & 7 & 1 & 8 \\ 2 & 8 & 1 & 8 \end{array}\right) x \)

sind zwei lineare Abbildungen \( F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) gegeben.

Geben Sie jeweils Basen von Ker \( F \) und \( \operatorname{Im} F \) an.

Ansatz/Problem:

Ich weiß nur das: Ker F := F^-1 (0)  also den Kern von F und   Im F:= F(x) sprich das Bild von F

aus Duplikat:

Wie bestimme ich die Basis des Kerns einer Matrix?

A) (3,1;4,1;5,9)

Ich habe diese Matrix in Zsf gebracht: (3,1;0,-1,0;0,0)

B) (2,7,1,8;2,8,1,8)

Ich habe diese Matrix in Zsf gebracht: (2,7,1,8;0,1,0,0)

Wie komme ich jetzt auf die Basis des Kerns?

Answer 1

um den Kern zu bestimmen musst du nur alle \(x\) finden die auf dem Nullvektor in \(\mathbb{R}^m\) abgebildet werden. Das entspricht der Lösungsmenge des homogenen LGS das von der Abbildungsmatrix beschrieben wird. Wenn du erstmal den Kern beschreiben kannst sollte es nicht schwierig sein eine Basis für ihn anzugeben.

Die Basis des Bildes zu finden ist sehr simpel. Es handelt sich um die linear unabhängigen Spaltenvektoren deiner Abbildungsmatrix.

Gruß

Answer 2

(3,1;0,-1,0;0,0)
für die Elemente (a;b) des Kerns bedeutet das ja
3a-b=0  und a+0b=0 und 0a+0b=0

2. Gl gibt a=0 und damit die erst b=0  also Kern nur
bestehend aus (o;0)

oder sollte das die Matrix
3  -1   0
1   0    0     sein?

Dann wäre der Kern in IR^3 also bestehend
aus (a;b,c)  mit 
3a - b  + 0c = 0    und   a  + 0b  +  0c = 0

damit also c beliebig etwa c=t
und  3a - b gibt dann b = 3a   und  a=0 gibt dann a=b=0
Also Kern alle  (o;0;t) damit Basis des Kerns
z.B.  (1;0,0)