Question

Zeigen Sie, dass die Zahlenfolge (an)=2/n - 3n streng monoton fallend ist. 

Bitte um eine ausführliche Antwort :)

Comments

Weißt du was streng monoton fallend bedeutet?

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Nein nicht wirklich ...

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Du sollst zeigen, dass für alle \(n \in \mathbb{N} \) gilt:
$$ a_n > a_{n+1} $$

Answer 1

Zu zeigen ist

a(n+1) < an

2/(n + 1) - 3·(n + 1) < 2/n - 3·n

2·n - 3·n·(n + 1)·(n + 1) < 2·(n + 1) - 3·n²·(n + 1)

2·n - (3·n³ + 6·n² + 3·n) < 2·n + 2 - (3·n³ + 3·n²)

- 3·n³ - 6·n² - n < - 3·n³ - 3·n² + 2·n + 2

3·n² + 3·n + 2 > 0

3·n² + 3·n > -2

Links steht für alle n > 0 ein positiver Wert. Der ist in jedem Fall größer als der negative Wert rechts.

Answer 2

kurze Alternative:

\( b_n = \frac{2}{n} \) und \(c_n = -3n \) sind offensichtlich streng monoton fallend, \(a_n\) als Summe der beiden somit auch.

Gruß