Taylorreihe für x/(3+5x), mittels Grenzwert von geometrischer Reihe

Question

$$f(x) = \frac {x}{3+5x}$$

Zu dieser Funktion soll eine Taylorreihe mit Entwicklungsmitte x₀ = 0 entwickelt werden, unter Verwendung des Grenzwerts von geometrischen Reihen. 

Ich nehme an, ich muss meine Funktion irgendwie auf die Form von...

$$\frac {1}{1-q}$$

...bringen.

Doch da komme ich nicht so recht weiter:

$$\frac {x}{3+5x}= \frac {1}{\frac {3}{x} + 5}$$

Answer 1

$$\frac x{3+5x}=\frac x3\cdot\frac 1{1-\left(-\frac53x\right)}=\frac x3\cdot\sum_{k=0}^\infty\left(-\frac53x\right)^k=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}\frac{5^{k-1}}{3^k}x^k.$$

Comments

Erstmal danke für Deine Antwort.

Kannst Du bitte paar Worte schreiben, wie Du vom zweiten Term zum dritten Term (also zweites Gleichheitszeichen) kommst? 

Wir benutzen ja diesen Grenzwert für geometrische Reihen. Wieso dürfen wir das überhaupt? Denn wir wollen ja eine Taylorreihe entwickeln.

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\(\dfrac1{1-\left(-\frac53x\right)}\) ist der Wert einer geometrischen Reihe mit \(q=-\frac53x.\)

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Das schon, und dieser entspricht dem n-ten Summenglied? 

Mit anderen Worten: Ich sollte stets prüfen, ob ich nicht diese Form erhalten kann, um mir Arbeit zu sparen.

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Es ist explizit erlaubt, die Reihendarstellung für \(\dfrac1{1-\left(-\frac53x\right)}\) zu verwenden. Diese solltest du nur noch mit \(\frac x3\) multiplizieren.

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Ich verstehe nicht, auf welcher Grundlage Du x/3 dann mit der Summe multiplizierst. Ich habe das so gelernt, dass ich die einzelnen Summenglieder mit einem allfälligen konstanten Faktor vor dem Summenzeichen multipliziere, nicht das Allgemeinglied.

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Ich komme ehrlich gesagt auch nicht auf Deine Lösung.

$$\frac {x}{3}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}{(-\frac {5}{3}x)^n} =\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {(-5x)^n}{3^n}\cdot\frac {x}{3}}= \sum_{n=0}^{\infty}{\frac {(-5)^n\cdot x^n\cdot x}{3^{n+1}}} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac {(-5)^n\cdot x^{n+1}}{3^{n+1}}} $$ 

Weiter komme ich nicht, was mache ich falsch?

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Du machst nichts falsch. Um die Reihe in die übliche Form \(\sum a_nx^n\) zu bringen, habe ich lediglich abschließend noch eine Indexverschiebung vorgenommen.

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Könntest Du mir bitte verraten, wie diese Indexverschiebung funktioniert? 

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Ersetze in deinem berechneten Ausdruck jedes \(n\) durch \(n-1\) und lasse die Reihe bei \(n=1\) statt \(n=0\) beginnen. Am Ergebnis ändert das nichts, aber die Reihe liegt dann in der erwähnten üblichen Form vor.

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Herzlichen Dank für Deine geduldige Hilfe! 

Ich müsste das jetzt so weit kapiert haben und es nur noch mittels Übungen in mein Gehirn einprügeln. (: