Summe geometrischer Reihe ist 9, die Summe der ersten zwei Glieder ist 5

Question

Due Summe einer unendlichen Geometrischen Reihe beträgt 9, die Summe ihrer ersten zwei Glieder 5. Wie heissen die ersten zwei Glieder?

Answer 1

Ich bezeichne

geometrische Reihe: a1, a2, .... Faktor q  und Summe s

Summe der ersten zwei Glieder:

a1 + a1*q = 5         (I)

Summe der unendlichen Reihe:

9 = a1*/(1-q)               (II)

(I') a1 (1+q) = 5

==> a1 = 5/(1+q)       (I'')

(II') a1 = 9(1-q) 

gleichsetzen

5/(1+q) = 9(1-q)     |*HN

5 = 9(1 -q^2)

5 = 9 - 9q^2

9q^2 = 4

q^2 = 4/9

q = ±2/3

1. Lösung:

q = 2/3  und a1 = 9(1 - 2/3) = 9*1/3 = 3, a2 = 3*2/3 = 2

2. Lösung: 

q = -2/3  und a1 = 9(1 + 2/3) = 9*5/3 = 15, a2 = 15*(-2/3) = -10

Bitte nachrechnen und gegebenenfalls korrigieren.

Answer 2

Die Summe S einer unendlichen geometrischen Reihe mit Startwert a₀ und dem konstanten Quotienten zweier beaachbarter Glieder q = a₁/ a₀ ist:

S = a₀ / ( 1 - q ) 

Vorliegend soll gelten:

S = a₀ / ( 1 - ( a₁ / a₀) ) = 9

<=> a₀  = 9  * ( 1 - ( a₁ / a₀) )

Außerdem soll gelten:

a₀ + a₁ = 5

Dieses Gleichungssystem lösen.