Ableitung Umkehrfunktion

Question

Gegeben sei die Funktion f: [2,∞) → ℝ: x → x³ -3x² -1
Berechnen sie die Ableitung f ^-1 (y) an der Stelle y= - 1

Ich vermute man muss hier mit f ^-1 (y)= 1/(f ' (f^-1 (y)) arbeiten.

f abgeleitet wäre 3x²-6x, ich vermute stark, dass es nicht stimmt, das zusammen mit  -1 in die oben genannte formel einzusetzen und somit auf ein Ergebnis von 1/9 zu kommen.

für Antworten

Answer 1

da \( f^{-1}(-1) = 3 \) sind deine Berechnungen korrekt.

Gruß

Comments

Würdest du mir auch noch verraten wie du auf f^-1(-1)=3 kommst? Dann wäre mir die Aufgabe klar
Wenn ich mir die Umkehrfunktion f^-1 an einem Rechner erstellen lasse, kommt da ein sehr kompliziertes Wurzelgebilde raus, da die Aufgabe aber ohne Taschenrechner gedacht ist, sollte es einen einfacheren Weg geben

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Sinn der Aufgabe ist es ja grade die Umkehrfunktion zu umgehen :).

Du musst dir nur die Lösungen der Gleichung \(f(x) = -1\) anschauen.

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Ah und für x=3 kriegt man dieses f(x)=-1, ok habs verstanden vielen Dank

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Ja schon, der Hinweis war vielleicht nicht deutlich genug

x^3-3x^2-1 = -1

x^3-3x^2 = 0

x^2(x-3) = 0

x = 0 oder x=3

Die erste Lösung interessiert uns nicht.

Answer 2

f = funktion
f  ( x ) = x^3 - 2 * x^2 - 1

g = umkehrfunktion

g [ f ( x ) ] = x

Ableiten
g ´ [ f ( x ) ] * f ´( x ) = 1
g ´( -1 ) ist gesucht
f ( x ) = -1
Dadurch ergibt sich
x = 0

Nun ist aber die Funktion f nur im Bereich [ 2 ; ∞ [  definiert.
x = 0 liegt nicht im Def-Bereich.

~plot~ x^3 - 2 * x^2 - 1 ; [[ -1 | 2 | -4 | 0 ]] ~plot~

f ´( x ) = 3 * x^^2 - 4 * x
f ´( 0 ) = 0

g ´ (-1 ) müßte ∞ sein.

Irgendwo stimmt alles nicht so recht.

Comments

Die Aufgabe hat sich erledigt (s. oben) zu deiner Rechnung du hast die Gleichung falsch abgeschrieben es ist 3x^2 nicht 2x^2

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Es gibt noch einen 2.Punkt ( 3 | -1 )
f ´( x ) = 3 * x² - 6 * x
f ´( 3 ) = 3 * 9 - 6 * 3
f ´( 3 ) = 9

g´( -1 ) = 1 / f ´( 3 ) = 1 / 9