Differenzenquotient x^2 und |x| im Nullpunkt

Question

ich habe soeben mit der Differentialrechnung angefangen und schon stehe ich auf dem Schlauch.

(f(x1) - f(x0) ) / (x1 - x0) 

x0 = 0

Für |x| habe ich wie folgt gerechnet (einmal von links nähern und einmal von rechts nähern...):

Für x1 = 1 -> (1-0) / (1-0) = 1

f(x1) = |x| = |1| = max{-1,1} = 1

Für x1 = -1 -> (1-0) / (-1-0)  = -1

f(x1) = |x| = |-1| = max{-1,1} = 1

Dh. in x0 nicht differenzierbar.

Mach ich nun das gleiche für x² , komme ich auf folgendes:

Für x1 = 1 -> (1-0) / (1-0) = 1

f(x1) = x² = 1*1 = 1

Für x1 = -1 -> (1-0) / (-1-0) = -1

f(x1) = x² = -1*-1 = 1

Also irgendwie ist das doch das gleiche Ergebnis... wo habe ich meinen Leichtsinnsfehler? :D

Answer 1

Ich verstehe nicht, was du da machst. Du musst bei der ersten Funktion prüfen, ob der Grenzwert \(\lim\limits_{x_1\to 0}\frac{f(x_1)-f(0)}{x-0}\) existiert.

Du setzt allerdings (aus welchen Gründen auch immer) anscheinend nur \(x_1=1\) bzw. \(x_1=-1\) ein. Das hat natürlich nichts mit dem Grenzwert zu tun.

Genau das gleiche bei der zweiten Funktion.