Bilinearform alternierend

Question

kann mir bitte einer bei der folgenden Aufgabe helfen? Ich komme da leider nicht weiter :(

Danke

Sei U ein Vektorraum, U* sein Dualraum, und  V=U⊕U.
Wir betrachten die Abbildung
Φ : VxV→K,  ((x,f),(y,g))↦f(y)-g(x)

Zeigen Sie, dass Φ eine Bilinearform ist, welche alternierend und nichtentartet ist.

Answer 1

ist zu zeigen

((x,f),(x,f))↦0   für alle (x,f) aus V  also x aus U und f aus U*  ( bei V heißt es doch wohl V=U⊕U* )

aber es ist nach Def.

((x,f),(x,f))↦ f(x) - f(x) = 0

andererseits nicht entartet  ?????

Kann U der Vektorraum sein, der nur aus dem Nullvektor besteht ???

Answer 2

Es muss wohl  U + U* heißen - sonst ergäbe es ja gar keinen Sinn. Die ganzen eigenschaften erspar ich mir; wenn du gar nicht durchblickst. die dualen Abbildungen f € U* sind doch linear; darauf beruht der ganze Zauber.

Dass eine Bilinearform, wo ein nicht trivialer Vektor Norm Null hat, alternierend heißt, ist mir vollkommen neu - siehe Wiki. Ihr alle kennt so ein Beispielo; die lichtartigen Vektoren des Minkowskiraums. Viele wissen das; wenn eine Metrik ===> indefinit ist, muss es einen nicht trivialen Vektor mit Norm Null geben. Wenn du dir etwas Konkretes vorstellen willst: Im |R ²  entsprechen Hyperbeln einer indefiniten Metrik; ihre Nullvektoren sind die Asymptoten.

In unserem Falle setze x  =  y  ;  f  =  g  .  Alles klar? Na wunderbar.

Es gibt ja definit, indefinit und ausgeartet. Entartet hieße: Es gibt einen Vektor, der auf dem ganzen Raum V senkrecht steht.  Das wäre dann

f  (  y  )  =  g  (  x  )  (V)  x  ;  g    (  1  )

Um dir klar zu machen, dass das nicht geht, musst du dir die Definition von U* ins Gedächtnis rufen:

f  (  i  )  x  (  j  )  =  DELTA (  i  ;  j )   ( 2 )