Man berechne das Minimum der Funktion auf der Kugel.

Question

Aufgabe:

Man berechne das Minimum der Funktion \( f(x, y, z)=x-y+z \) auf der Kugel \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{3}{16} \).

Comments

Logischerweise müsste eine symmetrische Verteilung mit geschickter Vorzeichenwahl von 3/16 auf x, y und z das Minimum geben.

Also

x = -1/4

y=1/4

z=-1/4.

WolframAlpha ist mit mir einverstanden. Vgl.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+x-y%2Bz+for+x%5E2+%2B+y%5E2+%2B+z%5E2+%3D+3%2F16

Du kannst die logische Begründung sicher selbst noch etwas ausschmücken.

Reicht dir das? Wenn du unbedingt etwas rechnen möchtest, gib möglichst genau an, was ihr in Mathe gerade behandelt und vermutlich üben sollt.

Answer 1

Geometrisch sind

x - y + z = C zueinander parellele Ebenen im Raum. Sie sind so zu sagen Niveauflächen von f, die Konstante C gibt dabei das Niveau an. Für C = 0 schneidet die Niveaufläche die gegebenen Kugel in einem Grosskreis.

Nun verschieben wir die Niveauflächen so weit wie möglich nach aussen. Als Tangentialflächen ahben sich noch genau einen Punkt mit der Kugel gemeinsam.

Wir kennen den Normalenvektor (1, -1,1) auf all diesen Ebenen und schneiden

g: r = (0,0,0) + t(1,-1,1) mit der Kugel.

t^2 + (-t)^2 + t^2 = 3/16

3t^2 = 3/16

t^2 = 1/16

t = ± 1/4

f(1/4, - 1/4,1/4) = 1/4 + 1/4 +1/4 = 3/4          Maximum für x=1/4, y = -1/4 , z=1/4

f(-1/4, 1/4, -1/4) = -1/4 - 1/4 -1/4 = -3/4           Minimum für x=-1/4, y=1/4, z=-1/4.

Nach dem 2. Ergebnis (Mimimalstelle und Minimum -3/4) war gefragt. 

Answer 2

Hi, Du musst die Lagrangefunktion $$  L(x,y,z) = f(x,y,z)+\lambda \cdot \left(g(x,y,z)- \frac{3}{16} \right)$$ aufstellen und wie üblich lösen. Du hast da ja schon ein paar Beispiele gerechnet.

Comments

ja, hast recht, es funktioniert. Danke, Scheise. also, das nachste mall bekommst due die beste antwort von mir. Danke noch malls