Die Punkte sind Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Für welches u ist der Umfang dieses Rechtecks maximal?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} x^{3}, x \in \mathbb{R} .$ Ihr Schaubild ist $K_{f}$.

1.1 Ermitteln Sie die gemeinsamen Punkte von $K_{f}$ mit der $x$-Achse und den Tiefpunkt von $K_{f}$.

Welche Eigenschaften hat der Punkt $O(0 \mid 0)$ als Punkt von $K_{f}$?

Begründen Sie Ihre Antwort.

Zeichnen Sie $K_{f}$.

1.2 Die Gerade mit der Gleichung $x=u$ mit $-2<u<0$ schneidet $K_{f}$ im Punkt $P$.

Die Punkte $P$ und $O$ sind Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks.

Für welches $u$ ist der Umfang dieses Rechtecks maximal?

Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x)=e^{x}-1, x \in \mathbb{R} .$ Ihr Schaubild ist $K_{g}$.

1.3 Bestimmen Sie die drei Schnittpunkte von $K_{f}$ und $K_{g}$.

Begründen Sie, dass keiner der Schnittpunkte ein Berührpunkt ist.

Geben Sie eine Stelle an, an der $K_{f}$ und $K_{g}$ dieselbe Steigung haben.

1.4 $K_{f}$, die Gerade mit der Gleichung $x=u$ mit $u<0$ und $K_{g}$ schließen eine Fläche ein. Für welche ganze Zahl $u$ hat diese Fläche den Flächeninhalt $\frac{1}{e^{2}}+\frac{3}{5}$?

Ansatz/Problem:

Ich bekomme die Aufgabe 1.2 nicht hin.

Comments

Hier (https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+1%2F4x%5E4%2B1%2F2x%5E3) siehst du den Graphen f. Die Gerade, von der gesprochen wird, soll (soweit ich das richtig verstehe) senkrecht zur x-Achse verlaufen. Wenn du dir z.B. die Gerade für x=1,5 vorstellst, schneidet diese ja die Funktion f an einem Punkt (der laut Zeichnung bei etwa -0,4 liegt). Dieser Schnittpunkt und der Ursprung (0|0) sind zwei Punkte deines Rechtecks. Ja nachdem wo du den Punkt P, also den Schnittpunkt deiner Gerade mit f hast, hat dein Rechteck einen anderen Umfang. Wenn du nun eine Formel für den Umfang aufstellst, sollte man auf $$U(x) = 2 \cdot (-x) + 2 \cdot (-f(x))$$ kommen. Die Formel ist einfach die Umfangsformel (U=2a+2b) für ein Rechteck. Für das f(x) kannst du natürlich deine gegebene Funktionsvorschrift einsetzen. Jetzt hast du also eine Funktion U, die dir den Umfang berechnet, wenn du eine Stelle x einsetzt (und für x darfst du laut Aufgabenstellung Werte zwischen -2 und 0 einsetzen). Zuletzt kommt die eigentliche Aufgabe, wann ist der Umfang maximal? Das bekommst du heraus, wenn du die Hochpunkte deiner Funktion U suchst. Diese bedeuten anschaulich ja nichts anderes, dass der Umfang maximal ist. Also erste Ableitung bilden, gleich Null setzen und nach x auflösen. Alle x-Werte, die zwischen -2 und 0 liegen (zwischen (!), also gehören die -2 und die 0 nicht mehr dazu) musst du dann näher untersuchen, sprich ob es sich um einen Hochpunkt handelt. Falls ja, hast du deine Stelle x gefunden.

Answer 1

f(x) = 1/4·x⁴ + 1/2·x³

U(u) = 2·(-u) + 2·(- f(u)) = - 0.5·u⁴ - u³ - 2·u

U'(u) = - 2·u³ - 3·u² - 2 = 0 --> u = -1.806443932