Taylorreihe cos(2x), Restglied

Question

f(x)=cos(2x)

a) Berechnen sie die Taylorreihe T(f,x,0). Weisen sie mit Hilfe des Restglieds nach Lagrange die Übereinstimmung von T(f,x,0) und f(x) nach.

b) Bestimmen sie eine Stammfunktion für f als Potenzreihe mit Hilfe von (a).

Taylorreihe habe ich aufgestellt bekommen, die wäre:

∑(von n=0 bis ∞) (-1)ⁿ * [(2²ⁿ * x²ⁿ) / (2n!)]

Komme nun aber mit dem Restglied und der b) überhaupt nicht zurecht..

für Antworten

Answer 1

Erstmal schreibst du dir auf, wie das Lagrange-Restglied aussieht. Dann zeigst du, dass es auf ganz \(\mathbb{R}\) gegen 0 konvergiert. Damit muss die Taylorreihe dann auf ganz \(\mathbb{R}\) mit \(f\) übereinstimmen.

Für b) bestimmst du zuerst den Konvergenzradius der Taylorreihe.
Auf kompakten Teilmengen des Konvergenzkreises kann die Potenzreihe gliedweise differenziert bzw. integriert werde.