ln(x)>= (x-1)/x mit Mittelwertsatz zeigen(zeigbar?)

Question

e^x>1+x habe ich schon gezeigt.

Könnte ich dies benutzen, um die Ungleichung aus dem Titel( ln(x)>= (x-1)/x ) zu zeigen?

Oder brauche ich einen anderen Ansatz? Könnt ihr mir weiterhelfen?

Answer 1

Ich würde neuen Ansatz nehmen mit Mittelw.satz.
für x=1 gilt Gleichheit und ansonsten ungterscheide
2 Fälle:

f(x) = ln(x) und   0<x<1
dann ist
(f(x)-f(1))   / (x-1 ) = f ' (z) mit  x<z<1

(ln(x) - 0) / (x-1)  =   1/z

ln(x) / (x-1)  =   1/z   und wegen    x<z<1 ist  1/x > 1/z > 1 also

ln(x) / (x-1)  =   1/z < 1/x   aber x-1 ist negativ, also aus < wird >

ln(x) > (1/x) * (x-1)   = (x-1) / x           fertig!

Fehlt noch der Fall   1< x < unendlich, der geht aber auch so ähnlich.

Comments

Für 1<x<unendlich setze ich Folgendes ein:

ln(x)-ln(unendlich)/(x-unendlich) = 1/z

Wie komme ich auf den nächsten Schritt? ( ln(x) / (x-1)  =   1/z   und wegen    x<z<1 ist  1/x > 1/z > 1 also)

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besser so :

ln(x)-ln(1)/(x-1) = 1/z

ln(x) / (x-1) = 1/z und weil jetzt  1<z<x ist, ist 1>1/z>1/x also

ln(x) / (x-1) > 1/x  aber (x-1) ist jetzt positiv, also bleibt das > Zeichen

ln(x) > (x-1) / x    q.e.d.

Answer 2

Hier meine Vorgehensweise

f ( x ) = ln ( x )
g ( x ) = ( x - 1 ) / x = 1 - 1 / x

Schnittpunkt
f ( x ) = g (x )
x = 1 ( ist schon gezeigt worden )

Berührpunkt ?
f ´( x ) = g ´( x)
1 / x = 1 / x^2
x = 1

x = 1 ist ein Berührpunkt
g ( x ) ist also immer unter oder über f ( x )
( außer x = 1 )

jetzt braucht man nur noch einen x-beliebigen Punkt zu nehmen
f ( 2 ) ? g ( 2 )
0.693 ? 0.5
0.693 > 0.5

ln ( x ) ≥ ( x -1 ) / x ist wahr