Operatornorm ∥A∥ := max{ ∥Ax∥ | ∥x∥ = 1}. zz. Maximum existiert bzw. ist korrekt definiert

Question

Betrachten Euklidischen Vektorraum mit Euklidischen Normen. Sei L(ℝ^k , ℝ^m) der Vektorraum aller linearen Abbildungen von ℝ^k nach  ℝ^m.

Fur eine lineare Abbildung gilt : Operatornorm ∥A∥ := max{ ∥Ax∥ | ∥x∥ = 1}.

zz. Maximum existiert bzw. ist korrekt definiert

Soll ich jetzt linearität nachweisen?

Answer 1

Ich versteh das so:
Du musst zeigen, dass es für die Menge { ∥Ax∥ | ∥x∥ = 1} wirklich ein Maximum gibt,
also ein x aus IR^k mit ∥x∥ = 1 existiert, so dass für anderen y aus IR^k mit ∥y∥ = 1 gilt
∥Ay∥ ≤ ∥Ax∥.

Ich denk mir mal, dass man alles darauf zurückspielen kann, dass hier alles
endlichdimensional ist, also die x und y durch eine Basis mit k Elementen
beschrieben werden können und dann wohl mit der Dreiecksungleichung
zu argumentieren ist.

Comments

Danke für den Hinweis. Bei Zeit probiere ich Ihren weg. Den Ansatz finde ich fast verständlich.

Meiner ist jetzt erstmal:

Man kann das Maximum umschreiben als: x≠0, x∈ℝ^k  sup ΙΙAxΙΙ ÷ ΙΙxΙΙ.

Dieses Supremum ist Maximum, da die Sphäre (Bsp. aus VL) ΙΙxΙΙ=1 kompakt ist und wg. Stetigkeit der Norm wird das Maximum auf ΙΙxΙΙ=1 angenommen

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Aber was ist mit der Stetigkeit von Ax  ?