Zeige dass durch d eine Metrik definiert wird

Question

Die euklidische Norm auf ℝⁿ wird bezeichnet durch ||  ||. Für x, y ∈ ℝⁿ ist die sogenannte französische Eisenbahnmetrik d: ℝⁿ x ℝⁿ → ℝⁿ definiert durch:

$$ d(x,y)\quad :=\quad \begin{cases} ||x-y|| & für\quad (x,y)\in G \\ ||x||+||y|| & für\quad (x,y)\notin G \end{cases} $$  und G := {(x,y) ∈ ℝⁿ x ℝⁿ : x und y liegen auf einer Geraden durch den Ursprung}   Zeige, dass durch d tatsächlich eine Metrik definiert wird.

Answer 1

Welche der nachzuweisenden Eigenschaften kannst Du den nicht beweisen?

Comments

Habe ich das so richtig gemacht?1. d(x,y) = 0 ⇔ x=ya) "⇒" 0 = d(x,y) = ||x-y|| ⇒ x=y"⇐"  d(x,x) = ||x-x|| = 0b) d(x,x) = ||x|| + ||x|| = ||2x|| = |2| * ||x|| = 02. d(x,y) = d(y,x)a) ||x-y|| = ||y-x|| stimmt wegen Eigenschaft von Normb) ||x|| + ||y|| ≥ ||x+y|| = ||y+x|| ≤ ||y|| + ||x||3. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)a) ||x-y|| ≤ ||x-z|| + ||z-y|| stimmt wegen Eigenschaft von Normb) ||x|| + ||y|| = ||x|| + ||z|| + ||z|| + ||y|| trivial