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Betrachten Euklidischen Vektorraum mit Euklidischen Normen. Sei L(ℝk , ℝm) der Vektorraum aller linearen Abbildungen von ℝnach  ℝm.

Fur eine lineare Abbildung gilt : Operatornorm ∥A∥ := max{ ∥Ax∥ | ∥x∥ = 1}.

zz. Maximum existiert bzw. ist korrekt definiert

Soll ich jetzt linearität nachweisen?

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Ich versteh das so:
Du musst zeigen, dass es für die Menge { ∥Ax∥ | ∥x∥ = 1} wirklich ein Maximum gibt,
also ein x aus IR^k mit ∥x∥ = 1 existiert, so dass für anderen y aus IR^k mit ∥y∥ = 1 gilt
∥Ay∥ ≤ ∥Ax∥.

Ich denk mir mal, dass man alles darauf zurückspielen kann, dass hier alles
endlichdimensional ist, also die x und y durch eine Basis mit k Elementen
beschrieben werden können und dann wohl mit der Dreiecksungleichung
zu argumentieren ist.
Avatar von 287 k 🚀

Danke für den Hinweis. Bei Zeit probiere ich Ihren weg. Den Ansatz finde ich fast verständlich.

Meiner ist jetzt erstmal:

Man kann das Maximum umschreiben als: x≠0, x∈ℝk  sup ΙΙAxΙΙ ÷ ΙΙxΙΙ.

Dieses Supremum ist Maximum, da die Sphäre (Bsp. aus VL) ΙΙxΙΙ=1 kompakt ist und wg. Stetigkeit der Norm wird das Maximum auf ΙΙxΙΙ=1 angenommen

Aber was ist mit der Stetigkeit von Ax  ?

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