Grenzwert = Supremum?

Question

Diese Frage ist sehr allgemein, doch habe ich mich gerade gefragt, ob eine konvergente und beschränkte folge auch immer gegen ihr Supremung/Infimum konvergiert.

Bitte keine einwortigen Antworten :)

Answer 1

Nimm als Beispiel mal die Folge

$$  x_n = \frac{(-1)^n}{n}  $$ für \( n \in  \mathbb{N_0} \) und untersuche gegen was sie konvergiert, ob sie beschränkt ist und bestimme das Infimum und Supremum der Folge, dann siehst Du die Antwort Deiner Frage sofort.

Comments

Da warst du wohl ein Tickchen schneller. $$n\in \mathbb N$$ sollte das aber heißen, ohne Null.

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Ja da hast Du Recht. Ist aber interassant das wir auf genau die gleiche Folge gekommen sind.

Answer 2

Nein, schau dir etwa die Folge

$$ x_n = \frac {(-1)^n} n$$ an.

Es ist unschwer zu erkennen, dass sie gegen 0 konvergiert, hat aber ein Maximum und Minimum =/= 0.

Answer 3

eine konvergente Folge ist immer beschränkt und besitzt demnach ein Sup und Inf.

Aber: Sie muss nicht dagegen konvergieren.

Einfaches Gegenbeispiel: \(\Large a_n := \frac{n-2}{n^2} \)

Gruß