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Definiere \( M+N:=\{x+y \in \mathbb{R}: x \in M, y \in N\} \) für Mengen \( M, N \subseteq \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass für nach oben beschränkte, nichtleere Mengen \( M, N \)
\( \sup (M+N)=\sup M+\sup N \)
gilt.

Hierzu soll ich folgende infos nutzen:

Zeige (i) sup M + sup N obere Schranke von M+N

      ii) Finde eine folge Zn ∈ M + N : Zn -> sup M + sup N

          Zn = Xn + Yn

Wie zeige ich jetzt z.B. fürs erste, dass sup M + sup N obere Schranke von M+N ist? Man hat ja keine konkrete Vorschrift oder?

von

1 Antwort

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Beste Antwort

sup M + sup N obere Schranke von M+N

Zeigst du, indem du aus

sup M ≥ m für alle m∈M  und  sup N≥ n für alle n∈N

folgerst  sup M + sup N   ≥ m + n  für alle m∈M , n∈N .

von 252 k 🚀

ja das habe ich auch so aufgeschrieben aber wie genau folgere ich das daraus

vielleicht so:  sup M ≥ m für alle m∈M

==>   sup M + sup N ≥ m + sup N  für alle m∈M

                              ≥ m + n   für alle m∈M, n∈N.

ich versuche mich mal, dankesehr

also meinen sie:

sup M + sup N ≥ m + sup N

sup M + sup N ≥ m + n

? darf ich das so direkt sagen, wenn ja bin ich dann hier fertig für die Obere Schranke?

Wie wähle ich dann die Folge?

Ich würde das schon etwas weiter ausführen, etwa so:

          sup M ≥ m für alle m∈M
  ==>  sup M + sup N ≥ m + sup N für alle m∈M.

Außerdem gilt sup N ≥ n  für alle n∈N
  ==>  sup M + sup N ≥ m +  n    für alle n∈N und m∈M.

Und für die Folge wählst du in N und M je eine Folge

nach der Methode:

Für jedes x∈ℕ gibt es in dem Intervall ] sup N - 1/x ; sup N [

ein Element von N. Eines davon sei ax.

Dann konvergiert dei Folge (ax)x∈ℕ gegen sup N .

Entsprechend mit bx gegen sup M.

Dann ist die Summe der Folgen eine, deren Glieder

in N+M liegen und die gegen sup M + sup N geht.

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