Für alle u ∈ v + W gilt: v + W = u + W

Question

Es sei V ein k-Vektorraum, v, v' ∈ V und W, W' ⊆ V zwei Untervektorräume. Zeigen Sie:

i) Für alle u ∈ v + W gilt:

v + W = u + W .

ii) Aus

v + W = v' + W'

folgt v' −  v ∈ W' und W = W'

Ich weiß nicht,wie ich vorgehen soll

Answer 1

nimm doch die Def:

u aus v+W heißt es gibt ein w1 aus W mit u=v+w1.

Sei nun x aus u+W
x aus u+W heißt es gibt ein w2 aus W mit x=u+w2

also x=v+w1+w2

und da W ein Vektorraum ist, ist w1+w2 aus W,

also gibt es ein w3 (nämlich w1+w2) aus W mit

x = v+w3 also x aus v+W.

umgekehrt genauso, also v+W=u+W

bei ii) vielleicht so: Sei  v + W = v' + W'

wegen 0 aus W  gibt es w aus W '  mit

v= v' + w also    v - v ' = w  ( aus W ' )

und da auch - w aus W ', folgt die Beh.

angenommen, es sei W ungleich W ', dann gibt es ein

w aus W  mit w nicht aus W '  

dann aber v + w aus v + W und wegen  v + W = v' + W'

also auch v+w aus v ' + W '  also gibt es ein w2 aus W ' mit

v + w = v ' + w2 also

w =  v ' - v + w2 = ( v ' - v ) + w2

da aber (s.o. )   v ' - v aus W ' und w2 aus W ' muss auch die Summe aus W ' sein,

im Widerspruch zur Annahme w nicht aus W '.

die Annahme   w aus W '   mit w nicht aus W  kann man genauso

zum Widerspruch führen.  W ungleich W ' ist also falsch

und damit W = W ' .