(i) ==> (ii)
Es gilt also v ungleich 0 und es gibt kein ρ ∈ R mit w = ρ · v.
Dann ist auch w≠0; denn sonst gäbe es ja ein p (nämlich p=0)
mit w=ρ · v. Außerdem gibt es kein ρ ∈ R mit v = ρ · w,
denn wenn es das gäbe, also v= ρ · w , dann ist es jedenfalls nicht 0,
also gäbe es auch 1/p und damit wäre (1/p) · v = w im
Widerspruch zu : es gibt kein ρ ∈ R mit w = ρ · v.
Entsprechend zeigst du auch (ii) ==> (i).
Und dann brauchst du nur noch den Nachweis z.B. von (i) <=> (iii).
Zuerst: (i) => (iii). Sei also v ungleich 0 #
und es gibt kein ρ ∈ R mit w = ρ · v. ##
Und sind λ, µ ∈ R mit λv + µw = 0 und wäre etwa
1. μ≠0 Dann liefert Multiplik. mit 1/μ
==> (λ/μ)v + w = 0
==> w = -(λ/μ)v im Widerspruch zu ##
2. λ≠0 Dann liefert Multiplik. mit 1/λ
v + (μ/λ)w = 0
==> v = -(μ/λ) w
Da wegen # v≠0 ist, ist auch μ≠0 , also gilt auch
w = -(λ/μ)v wieder Widerspruch zu ###
Bleibt noch (iii)==> (i).
Gilt also: Sind λ, µ ∈ R mit λv + µw = 0, so folgt λ = µ = 0. #
muss man daraus herleiten:
v ungleich 0 und es gibt kein ρ ∈ R mit w = ρ · v.
Wäre v=0, dann wäre das 1·v + 0·w = 0
im Widerspruch zu #. ( λ =1)
Gäbe es ein ρ ∈ R mit w = ρ · v, dann hätte man
(-p)·v + 1·w = 0
im Widerspruch zu #. ( µ = 1)
