Vektorrechnung Verständnisproblem

Question

ich mache es kurz und knapp und komme direkt zur Aufgabe;

Gegeben seien zwei Punkte P=(2;-3;4) und Q=(-1;5;2). Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch P und Q geht. Bestimmen Sie außerdem die Gleichung der Ebene, die durch Q geht und auf der die Gerade g senkrecht steht. Geben Sie die Ebenengleichung sowohl in der parameterfreien als auch in der parametisierten Form an.

Mein Problem;

technisch ist es kein Thema für mich, es hapert am Verständnis. die Gerade g ist ja keine Sache, da die allgemeine Form E: x= P + t(Q-P) gilt. Da diese Gerade senkrecht auf der gesuchten Ebene stehen soll, kann man sie ja als Normalenvektor direkt nehmen. Die Gleichung E = ax + by + cz = D ist somit bis auf das D erfüllt, da sich die Koeffizienten a,b,c ja gleich aus dem Normalenvektor übernehmen lassen.

Aber ich komme gerade einfach nicht drauf wie ich mein D basteln soll. Ist dies nun einfach das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und dem Ortsvektor Q=(-1;5;2)?

Vielen Dank schon mal für Eure Hilfe!

Answer 1

du hast es erfasst :). Die Überlegung kannst du an der Hesseschen Normalform nachvollziehen.

Gruß

Comments

Laut Lösung stimmt das aber nicht, wie ich das gerade sehe. Für D steht in den Lösungen -39, ich hab -38. Er hat auch einen neuen Punkt bestimmt, bzw. einen neuen Richtungsvektor. Er hat Q von (x,y,z) abgezogen, so dass er auf ((x+1),(y-5),(z-2)) kommt. Mit diesem, und mit dem Normalenvektor hat er dann das Skalarprodukt bestimmt.

Sein D ist dann -38, meins bei -39. Er hat von Q dann im Grunde die Vorzeichen gedreht und dann erst das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor gebildet.

Ich sehe gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht...

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Deine Lösung ist richtig, er hat sich verrechnet (oder aber P ist falsch von dir angegeben)

$$ D =  \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = -39 $$

Beim Skalarprodukt spielt es keine Rolle ob die Vektoren zuerst zusammen verrechnest. 

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Sorry, ich meinte ich war bei -38 und er bei -39. Ich habs aber jetzt, hatte mich offenbar irgendwo vertan. Habs jetzt nochmal gerechnet und jetzt komme ich auch auf dieselbe Ebenengleichung mit identischem D.

Vielen Dank für Deine Hilfe!

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Kein Problem gerne :) Merke grade selber ich hatte mich verlesen wer jetzt welche Lösung hatte ^^