Kreuzprodukt vereinfachen: (a + b) × (a - b)

Question

Das Kreuzprodukt soll vereinfacht werden. Dabei ist mir die Lösung bekannt.

\( ( \vec{a} + \vec{b} ) \times ( \vec{a} - \vec{b} ) \)

Lösung:

\( 2 \vec{b} \times \vec{a} \)

Den ersten Schritt habe ich glaub ich richtig gemacht, aber leider komme ich da nicht weiter:

\( \vec{a} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b} \)

Answer 1

Aloha :)

Das Vektorprodukt ist anti-kommutativ, d.h. \(\vec a\times\vec b=-\vec b\times\vec a\). Daher gilt:$$(\vec a+\vec b)\times(\vec a-\vec b)=\underbrace{\vec a\times\vec a}_{=\vec 0}+\vec b\times\vec a\underbrace{-\vec a\times\vec b}_{=+\vec b\times\vec a}-\underbrace{\vec b\times\vec b}_{=\vec 0}=2\vec b\times\vec a$$

Comments

Vielen dank :)

Warum kann es denn nicht 2a x b sein?

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Es kann -2a x b sein.

Wie gesagt

a x b = - b x a

Ich glaube das nannten die Leute Antikommutativgesetz.

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Alles klar, danke :)

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Kann es auch, aber dann mit Minuszeichen davor:$$\underbrace{\vec b\times\vec a}_{=-\vec a\times\vec b}-\vec a\times\vec b=-2\vec a\times\vec b$$

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Vielen Dank für deine Antwort auch :)

Answer 2

Du kannst das recht einfach wie folgt machen:

Anmerkung. Ich habe versehentlich ein Pluszeichen nicht geschrieben. Du weißt sicher wo es fehlt oder?

Comments

Vielen Dank für die Antwort :)

Answer 3

Dabei ist mir die Lösung bekannt.

Du weißt also schon, dass  die Lösung \(-2\cdot (\vec{a}\times\vec{b})\) ist?

Comments

Was verstehst du an der Antwort von Tschakabumba nicht?

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Wie kommst du darauf? Sind die obigen Lösungen falsch?

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Ich war etwas zu spät mit meiner Korrektur. Ich wollte den FS eigentlich nur darauf hinweisen, dass es nicht "die Lösung", sondern nur mögliche verschiedene Darstellungsformen der Lösung gibt.

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Achso alles klar, Verstehe