Funktionenfolge auf Konvergenz überprüfen

Question

Aufgabe:

Zeige, da \( \beta \) die folgende Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) punktweise konvergiert, bestimme ihre Grenzfunktion und untersuche die Funktionenfolge auf gleichmäßige Konvergenz:

\( f_{n}: R \longrightarrow R: x \mapsto \frac{2 n x}{1+|n x|} \)

Answer 1

Hi,

punktweise Konvergenz folgt aus Grenzwertbetrachtung und eventueller Fallunterscheidung. Die Grenzfunktion ist:

$$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: f(x) = \begin{cases} \ \ \ 2, \quad x > 0 \\ \ \ \ 0, \quad x=0 \\ -2, \quad x < 0 \end{cases} $$

Was die glm. Konvergenz betrifft reicht eine Argumentation über die Stetigkeit der Funktionen der Folge und die Betrachtung der Stetigkeit der Grenzfunktion.

Gruß