Konvergenz einer weiteren Funktionenfolge

Question

Liebe Community,

ich habe die folgende Aufgabe gestellt bekommen, zu der ich leider keine Anhaltspunkte habe. Um Hilfe wäre ich sehr dankbar! :)

Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktionenfolge $$(f_{k})_{k\in\mathbb{N}}$$
mit$$f_{k}:[0,\infty[ \rightarrow \mathbb{R}, \text{ } f_{k}(x) = \frac{x}{k²}e^{\frac{-x}{k}}, \text{ } x\in[0,\infty[$$

a) Zeigen Sie, dass die Folge $$(f_{k})_{k\in\mathbb{N}}$$ gleichmäßig gegen die Nullfunktion
$$f:[0,\infty[ \rightarrow \mathbb{R}, \text{ }x\rightarrow 0$$
konvergiert.

b) Zeigen Sie, dass
$$\lim\limits_{k\to\infty} \int \limits_{0}^{\infty} f_{k}(x) \text{ }dx \text{ }=1 \neq 0 = \int \limits_{0}^{\infty}f(x)\text{ } dx$$

Comments

Es hat sich soeben der Knoten gelöst und ich habe die Aufgabe gelöst bekommen! :)