Grenzwert Aufgabe, Analysis ^1

Question

ich versuche seit gestern Abend diesen Schritt in der Musterlösung einer Ana 1 Klausur nachzuvollziehen. Aber egal was ich versuche, immer kommt quatsch raus. 

Nun verstehe ich nicht was hier gemacht worden ist und wieso das sinnvoll ist.

es geht um diese Aufgabe

und vor allem um den blau markierten Rechenschritt

ich erhalte entweder 0 oder Schrott....

 

Comments

Habe die Lösung gefunden. Ich versteh aber trotzdem nicht wie die dafür nur 2 Punkte vergeben können... Poha...

Naja, für alle die es wissen wollen, er hat einfach mit n+(n^2+4n)^{1/2} erweitert und dann die dritte binomische formel angewandt....... Ich wäre da als Ottonormal Student niemals drauf gekommen während der Klausur, ich hätte da als Lösung 0 stehen vermutlich... zum heulen

Answer 1

  Freundlich soll ich sein. Also sage ich dir freundlich, dass das alles Unfug und Unsinn ist. Zugegeben; auch unsere Assistenten empfahlen uns, über die 3. binomische zu gehen.

    Jetzt stell dir mal vor, da steht keine Quadratwurzel, sondern die 4 711. Wurzel.   Benutzest du dann die 3. Binomische formel " hoch 4 711 " ? Doch die gibt es. Wenn du mich höflich darum bittest, schreib ich dir das mal hin; es handelt sich übrigens um die ersten 4 711 Glieder einer ===> geometrischen Reihe.

      Ich war ja früher auf dem Konkurrenzportal ===> Cosmiq, wo die Leute echt Ideen haben. Hier habe ich bis Heute noch von keinem von euch was zugelernt ... Und der hatte so ungefähr einen Ausdruck wie du. Bloß mit Kubik-statt Quadratwurzeln.

    " Was ist ein Kubikmweter? "

   " Ein Kubikmeter ist, wenn sich eine Kuh einen Meter bikt ... "

     Und da meldete sich ein Genie, dessen username mir längst entfallen ist.

     Ich zitiere also nur mit Genehmigung des hl. Vaters. Denn ich bin weder Gutenberg noch Bösental.

    Der ursprüngliche Vorschlag meines Gewährsmannes erwies sich allerdings dann doch als zu wenig flexibel; es macht schon einen Unterschied, ob du Quadratwurzel oder 4 711. Wurzel hast.

     Du bildest die Transformation

      n  ^ k  =:  1  /  x  ^  m        (  1a  )

         Dabei ist k die höchste Potenz, in welcher n auftaucht  ( Das kann durchaus auch eine Bruchzahl sein. ) Und m ist die Ordnung deiner Wurzel. In deinem Falle also k = 2 wegen " n ² " und  eben Falls m = 2  wegen Quadratwurzel.

       n ²  =  1  /  x  ²  ===>  n  =  1  /  x       (  1b  )

     (  1b  ) war übrigens der ursprüngliche Vorschlag dieses Wunderfratzes - eben etwas zu speziell. Du verstehst es weit besser, wenn du dir klar machst: Im Nenner muss immer x ^ 1 stehen. Also was kommt jetzt raus?

          F  (  x  )  =   1  /  x  -  sqr  (  1  /  x  ²  +  4  /  x  )    =    (  2a  )

                        =  -  (  1/x  )  [   sqr  (  4  x  +  1  )  -  1  ]           (  2b  )

      Im Gegentum zu dem ursprünglichen Limes n ===> ( °° )  entwickelt ( 2b ) einen richtig gehend anschaulichen Sinn. Im Grenzwert geht jetzt natürlich x gegen Null. Aber ( 2b ) ist doch effektiv nix weiter wie der Differenzenquotient der Funktion

       f  (  x  )  :=  sqr  (  4  x  +  1  )          (  3a  )

       genommen zwischen der beliebigen Stelle x und x = 0 Und " dem sein " Grenzwert ist nix weiter als ( Minus ) die Ableitung von f ( x ) in Null:

       -  f  '  (  x  )  =  -  2  /  sqr  (  4  x  +  1  )          (  3b  )

       lim  =  -  f  '  (  0  )  =  (  -  2  )

Answer 2

Du weisst aber schon, das man \( \infty  - \infty   \) nicht rechnen darf, oder. Deshalb solltest Du die die Vorgehensweise gut merken.