Seien f,g : R2 →R zwei C2-Funktionen und ~v : R3 →R ein C2-Vektorfeld. Man zeige die folgenden Identit¨aten

Question

Mir ist echt unklar wie ich das hier lösen soll. ? es geht um leben und tod (ok nicht um tod, aber trotzdem)

Comments

Schau dir mal die Definitionen von Divergenz, Gradient und Kreuzprodukt an. Die müssen bekannt sein.

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ja klar, also: Gradient : 
               (Fx/dx)
grad(f) = (Fy/dy)

Divergenz: x/dx + y/dy + z/dz

Kreuz produkt: x      u       y*p - w*z
                        y  x  w = -(w*p - u*z)
                        z      p       x*p - z*z

Das ist mir alles klar, aber ich weiß nicht was ich schreiben soll. mir wurde doch keine funktion gegeben.

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Also für \(f,g\in C^2(\mathbb{R^2})\) gilt:
$$ \text{grad }f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})^T $$

und

$$  \text{grad }g = (\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y})^T  $$

Berechne zunächst mal \( \text{grad }f \times \text{grad }g\). Die Vektoren stehen ja oben.

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Meinst du so??:

div[grad(f) x grad(g)]

div[(df/dx; df/dy; o)^T x (dg/dx; dg/dy; o)^T]

div [0; 0; df/dx * dg/dy - dg/dx*df/dy]^T

Answer 1

Hi, ich hab da mal eine grundsätzliche Frage. Das Kreuzprodukt ist im \( \mathbb{R^3}  \) definiert und nicht im \( \mathbb{R^2}  \) Die Gradienten von \( f \text{ und } g \) sind aber Vektoren im \( \mathbb{R^2}  \) nach Aufgabenstellung und Du sollst davon das Kreuzprodukt bilden?

Das nächste ist, das Vektorfeld \( \vec v \) ist, das es als Abbildung \( \mathbb{R^3} \to \mathbb{R}  \) definiert ist, kein Vektorfeld sondern eine skalare Funktion.

Also da gibt es einiges in der Aufgabenstellung das nicht ok sind.

Meiner Meinung nach richtig wäre \( f,g : \mathbb{R^3} \to \mathbb{R} \) und \( \vec v : \mathbb{R^3} \to \mathbb{R^3}  \)

Dann gelten auch die genannten Formeln.

Comments

Vielleicht macht man das kreuzprodukt in 2D als: (X;Y;0) X (A;B;0)

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ja, ich habe recht: das kreuz produkt in 2D nimmt 0 als Z element.

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Und was ist mit \( \vec v \) ?

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V ist in 3 dimenzionen also V= (Vx;Vy;Vz)

Ich habe es berechnet, ja es geht. du nimmst einfach als grad fur f und g - grad(f)= (df/dx; df/dy; 0)

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Hi, unter den Annahmen die ich vorher geschrieben habe gilt zu (a),
\(  \nabla f \times \nabla g = \begin{pmatrix} f_yg_z-f_zg_y \\ -f_xg_z+f_zg_x) \\f_xg_y-f_yg_x \end{pmatrix} \)
Deshab gilt
$$ \text{div}(\nabla f \times \nabla g) = f_{yx}g_z+f_yg_{zx}-f_{zx}g_y-f_zg_{yx}-f_{xy}g_z-f_xg_{zy}+f_{zy}g_x+f_zg_{xy}+f_{xz}g_y+f_xg_{yz}-f_{yz}g_x-f_yg_{xz} = 0  $$

zu (b)
$$ \text{div}(f \cdot \vec v) = \text{div} \begin{pmatrix} f \cdot v_1 \\ f \cdot v_2 \\ f \cdot v_3 \end{pmatrix} = f_xv_1+fv_{1_x}+f_yv_2+fv_{2_y}+f_zv_3+fv_{3_z} = f\cdot \text{div}(v)+\vec v \cdot \nabla f $$

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Habe ich schon :D trotzdem danke :D :D