Wie löse ich folgendes Integral mit Hilfe der Partialbruchzerlegung?

Question

∫(8x² + 26) / (x³ - 6x² +13x) dx

Als erstes habe ich aus dem Nenner herausgehoben und die Nullstellen bestimmt.. da nur "x=0" vorhanden war habe ich mit folgendem Ansatz weiter gerechnet!

(A / x) + (Bx + C) / (x² - 6x + 13)

Durch den Koeffizientenvergleich habe ich dann die A, B & C bestimmt.

(2 / x) + (6x + 12) / (x² - 6x + 13)

Danach habe ich begonnen laut Summenregel zuerst "-2/x" zu Integriert bin dann jedoch bei "(6x + 12) / (x² - 6x + 13)" hängen geblieben und komme einfach nicht weiter!! Mir bleibt immer etwas im Integral übrig!

Das Ergebnis sollte im übrigen lauten: 2 ln(x) + 3 ln(x² - 6x + 13) + 15 arctan((x-3) / 2) + C

Wäre wirklich sehr dankbar über eure Hilfe!!

Comments

(x^2 - 6x + 13)' = 2x - 6 

Daher

(2 / x) + (6x + 12) / (x² - 6x + 13)

= (2 / x) + (3(2x + 4)) / (x² - 6x + 13)  

= (2 / x) + (3(2x -6 + 10)) / (x² - 6x + 13)

= (2 / x) + (3(2x -6)) / (x² - 6x + 13) + 30/(x^2 - 6x + 13)   
Bis hierhin mal nachrechnen und gegebenenfalls Rechenfehler korrigieren. Den zweiten Summanden kannst du mit Substitution integrieren. Beim dritten auch (+ Integrationstafel verwenden!)


 Nun kommst du vermutlich selbst weiter.

Answer 1

bin dann jedoch bei "(6x + 12) / (x² - 6x + 13)" hängen geblieben und komme einfach nicht weiter!! Mir bleibt immer etwas im Integral übrig!

die Ableitung vom Nenner ist doch  2x - 6
und wenn du dann im Zähler 6x-18 nimmst, kann du
das Integral zu  3*  ( 2x-6)  /   ( x^2 - 6x + 13 )  mit dem ln  ( x^2 - 6x + 13 )
erledigen.

aber
(6x + 12) / (x² - 6x + 13)  =  3*  ( 2x-6)  /   ( x^2 - 6x + 13 )
                                              + 15  /    ( x^2 - 6x + 13 )

und du hast also noch den letzten Summanden

15  /    ( x^2 - 6x + 13 ) an der Backe. Der ist

15 /  ( ( x-3)^2  +  4 )   =    15/4   *      1 / (    (  x-3)^2/4  +  1   ) und das erinnert doch  an

die Abl. von arctan(z)  mit der substitution  z =  (  x-3)/2