Beweisen, dass x aus der b-adischen Entwicklung rational ist (geometrische Reihe)

Question

Wir sollen beweisen, dass x aus der b-adischen Entwicklung rational ist.

\( x=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{a_{k}}{b^{k}}, a_{k} \in\{0, \ldots, b-1\} \)
einer reellen Zahl \( x \in[0,1] \) heißt periodisch, falls \( k_{0} \in \mathbb{N} \) und \( \ell \in \mathbb{N} \) existieren, so dass für alle \( k \geq k_{0} \) gilt \( a_{k+\ell}=a_{k} \)

Als Anleitung wurde uns gesagt wir sollen die geometrische Reihe benutzen um folgende Darstellung zu erhalten

\( x=\sum \limits_{k=1}^{k_{0}-1} \frac{a_{k}}{b^{k}}+\frac{b^{\ell}}{b^{\ell}-1} \sum \limits_{k=k_{0}}^{k_{0}+\ell-1} \frac{a_{k}}{b^{k}} \)

Answer 1

Die Idee dahinter ist die Folgende:
wenn du z.; die Dezimalzahl 0,7 456 456 456...
= 7/10  + 4/100 + 5/1000 + 6/10000 + 4/100000 + ...
also 0,7 Periode 456   hast.
Dann bedeutet die Umformung, dass du die ersten Ziffern, die mit der Periode nix
zu tun haben für sich betrachtest (Das ist die erste Summe bei mir nur der Summand  7/10.)
also wäre im Beispiel ko=2 , d.h. die Position wo die Periode beginnt.

und dann die geometrische Reihe, das wäre in meinem Beispiel
wenn du immer 3 Summanden (das ist die Periodenlänge) zusammenfasst
456/ 10000 + 456/10000000 + 456/ 10000000000  ....
also im Nenner immer drei Nullen mehr, also
= 456/10000* geometrische Reihe mit q=1/1000=1/10^L mit Periodenlänge L
und die geometrische Reihe hat den Grenzwert
456/10000 * 1 / (1-q)  =   456/10000 * 1 / (1-(1/1000)) = 456/10000 * 1000/(1000-1)
              = 1000/(1000-1) *  456/10000
Und der letzte Bruch ist ja genau die endliche Summe aus der Aufgabe.

Da hier im Ergebnis alles nur ganze Zahlen addiert und multipliziert und dividiert
werden, ist das Ergebnis rational.

Comments

Was hat die Anleitung mit deinem Ansatz zu tun? Ich kann das irgendwie nicht nachvollziehen