Aufgabe:
Sei $$ f: R \longmapsto R, x \longmapsto\left\{\begin{array}{ll} \exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) & \text { für } x \neq 0 \\ 0 & \text { für } x=0 \end{array}\right. $$
Zeige die folgenden Aussagen:
1) Für \( x \neq 0 \) und für alle \( n \in \mathbb{N}_{\geq 1} \) gibt es Polynome \( p_{n}(x) \) und \( q_{n}(x)=x^{3.2^{n-1}}, \) so \( \operatorname{daß} \operatorname{gilt} f^{(n)}(x)=\frac{\operatorname{pn}(x)}{\operatorname{qn}(x)} \cdot \exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) \)
2) Für alle \( k \in \mathbb{N} \) gilt \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{k}}=0 \)
3) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt \( f^{(n)}(0)=0 \)
4) \( f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \) und \( T_{f, O}=0 \)
