Welche Fläche hat das Parallelogramm und welches Volumen hat der Spat?

Question

Aufgabe:

Welche Fläche hat das Parallelogramm, das von \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} -1\\1\\4 \end{pmatrix} \)aufgespannt wird?

Welches Volumen hat der Spat, der von \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\0 \end{pmatrix} \), \begin{pmatrix} -1\\1\\4 \end{pmatrix} und \( \begin{pmatrix} 2\\2\\-2 \end{pmatrix} \) aufgespannt wird?

Answer 1

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms, das von den Vektoren  u = (u₁,u₂,u₃)  und  v = (v₁,v₂,v₃)  aufgespannt wird, berechnet sich aus dem Betrag des Kreuzprodukts  u × v = (u₂·v₃ - u₃·v₂,u₃·v₁ - u₁·v₃, u₁·v₂ - u₂·v₁).
u × v = ((-1)·4 - 0·1,0·(-1) - 2·4,2·1 - (-1)·(-1)) = (-4,-8,1).
A = |u × v| = √((-4)² + (-8)² +1²)) = √81 = 9.

Answer 2

1. Vektorprodukt berechnen und davon den Betrag nehmen.

(-4+0 | -(8-0) | 2-1) = (-4 | -8 |1)

Fläche: √(4^2 + 8^2 +1^2) = √(16 + 64 + 1) = 9

2. Spatprodukt berechnen (entspricht Determinante) und davon den Betrag nehmen.

-4+0-8 -(0+16-2) = -12 -16+2 = -26

Volumen: 26

Rechen- und Übertragungfehler vorbehalten.