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Aufgabe: Das Volumen der gegebenen Vektoren gebildeten Spat berechnen!


Dann habe ich 3 Vektoren gegeben.


Ich habe jetzt die Lösung raus bekommen. Doch verstehe nicht genau warum. ICh habe einfach die 3 Vektoren als eine Matrix aufgeschrieben und dann die Determinante berechnet, das ist auch die Lösung..., bedeutet dass, das die Determinante = Volumen ist?!


Ich hatte auch diese Fomel gesehen, aber nicht verstanden a ( b x c )

Wäre dass dann das Kreuzprodukt (also die Fläche) mal die Höhe, oder?


was muss ich verwenden,  bzw. warum ist die Determinante das Volumen.

von

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Hi,

lese das hier bzgl. des Spatprodukts:
https://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt#Betrag_des_Volumens_und_orientiertes_Volumen

Zum Volumen: Seien x,y und z deine Vektoren.

Sei U=Lin(x) und πdie orthogonale Projektion auf U (lila).

Spannen wir nun ein Parallelogramm auf mit x und y, so ist die Höhe des Parallelogramms gegeben durch h=|y-πU(y)|, wobei ich mit |·| die euklidische Norm im ℝbezeichne.

~draw~ vektor(0|0 5|0 "x");vektor(0|0 2|3 "y");strecke(2|3 2|0 );vektor(0|0 2|0);text(2.2|1.5 "h");zoom(10) ~draw~

Damit ist der Flächeninhalt des Parallelogramms durch A= |x|·|y-πU(y)| gegeben:

~draw~ vektor(0|0 5|0 "x");vektor(0|0 2|3 "y");;polygon(0|0 5|0 7|3 2|3);zoom(10) ~draw~

Mit der Höhe des Spats gehen wir genauso vor.

Sei W=Lin(x,y) und πW die orthogonale Projektion auf W.

Die Höhe ist also gegeben durch H=|z-πW(z)|.

Letztendlich ist das Volumen V gegeben durch:

$$V=|x|  \cdot |y-\pi_U(y)| \cdot |z-\pi_W(z)|$$

Zur Determinante:

Es gibt ein λ mit πU(y)=λ·x und μ,ν mit πW(z)= μ·x+ν·y.

Es gilt

$$|det(x \ y \ z)|=|det(x \ y- \lambda x \ z-\mu x - \nu y)|$$

da die Addition des Vielfachen einer Spalte zu einer anderen nicht die Determinante ändert.

Nach Konstruktion sind die Vektoren in der rechten Matrix orthogonal zueinander. Durch Normierung erhalten wir:

$$|det(x \ y \ z)| \\ =|det(x \ y-\lambda x \ z-\mu x - \nu y)| \\ =|x| \cdot |y-\lambda x| \cdot |z-\mu x - \nu y| \cdot |det(\frac{x}{|x|} \ \frac{y-\lambda x}{|y-\lambda x|} \ \frac{z-\mu x - \nu y}{|z-\mu x - \nu y|}) | \\ = |x| \cdot h \cdot H \cdot |det(\frac{x}{|x|} \ \frac{y-\lambda x}{|y-\lambda x|} \ \frac{z-\mu x - \nu y}{|z-\mu x - \nu y|}) |\\ = |x| \cdot h \cdot H $$

wobei das letzte Gleichheitszeichen gilt, da dier Betrag der Derminante einer orthogonalen Matrix 1 ist.

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Kleine Ergänzung: Die Matrix am Ende des Beweises ist orthogonal, da wir durch die Normierung der orthogonalen Vektoren eine ONB erhalten haben.

Hey Mr. Allmächtig ;-) Sie sind nicht zufällig mit Daniel Jung verwandt/verschwägert, oder? :-D

Vlt. noch als Tipp: Auch bei Determinanten kann man mit vorgestelltem Backslash die "Kursivität" entfernen.

Huhu :)

1.) Du kannst mich ruhig duzen.

2.) Nein, ich bin nicht mit ihm verwand/verschwägert :D Lustigerweise ist einer meiner Vornamen allerdings auch Daniel :D

3.) Danke, muss mir das echt mal angewöhnen :)

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(a x b) * c ist das Spatprodukt. 

Interessanterweise ist das Spatprotukt auch mit der Determinante identisch.

Und das ist das Volumen eines aufgespannten Spats in einem rechtsgerichtetem System. D.h. das Produkt/Determinante kann eventuell auch negativ sein.

von 298 k

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