Poisson und Exponential Verteilung

Question

kann jemand mir mit dem Lösung helfen ? Ich kenne mich nicht gut aus mit dem Frage.
Eine Firma hat 20 Bestellungen pro Stunde. Sachbearbeiterin braucht 2 min pro Bestellung :
1.) Wahrscheinlichkeit dass in 15 min keine Bestellung eintreffen
2.) Wahrscheinlichkeit dass in 15 min 3 Bestellungen eintreffen
3.) Wahrscheinlichkeit dass in 15 min mehr als 4 Bestellungen eintreffen
4.) Servicerate berechnen
5.) Wieviel prozent warten weniger als 1 min
6.) Durchschnittliche Wartezeit

Meine Ideen:
Ich glaube muss man diese frage mit der Hilfe von Poisson und Exponentialverteilungs Formeln lösen ?

Comments

Mit der Poissonverteilung habe ich zunächst folgende Ergebnisse

a) Wahrscheinlichkeit dass in 15 min keine Bestellung eintreffen

Erwartungswert: μ = 5 Bestellungen pro 15 Minuten

P(X = k) = λ^k/k!·e^{- λ}

P(X = 0) = 5^0/0!·e^{- 5} = 0.67%

b) Wahrscheinlichkeit dass in 15 min 3 Bestellungen eintreffen

P(X = k) = λ^k/k!·e^{- λ}

P(X = 3) = 5^3/3!·e^{- 5} = 14.04%

c) Wahrscheinlichkeit dass in 15 min mehr als 4 Bestellungen eintreffen

P(X > k) = 1 - ∑ (x = 0 bis k) (λ^x/x!·e^{-λ})

P(X > 4) = 1 - ∑ (x = 0 bis 4) (5^x/x!·e^{-5}) = 55.95%

d) Servicerate berechnen

30 Bestellungen pro Stunde

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Servicerate \( \frac{60}{2} \) weil pro 2 Mininuten eine Bestellung bearbeitet wird.

Ich denke die Frage ist vollständig beantwortet.

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Leider nicht. Es fehlen noch

5.) Wieviel prozent warten weniger als 1 min 
6.) Durchschnittliche Wartezeit 

Kannst du die beantworten?

Answer 1

Ich habe mal ein wenig recherchiert. Das Problem kann ja als eine Warteschlange angesehen werden. In der Warteschlangentheorie unterscheidet man die Modelle entsprechend der Verteilung der Ankufts- und Servicezeiten sowie nach der Anzahl der Servicestellen. Z.B. bedeutet das Modell \( M / M / 1 \), das die Ankunfts- und Servicezeiten Exponentialverteilt sind (Markoveigenschaft), deshalb die Bezeichnung \( M \), und es eine Servicestelle gibt. Zusätzlich gilt noch die Regel, first-come-first-served.

Aus diesem Modell ergibt sich folgendes

Die mittlere Wartezeit inkl. der Servicezeit berechnet sich zu

$$ W = \frac{1}{\mu - \lambda}  $$ und die mittlere Wartezeit ohne Servicezeiten berechnet sich zu

$$  W_q = W - \frac{1}{\mu} =  \frac{\lambda}{\mu (\mu - \lambda)} $$ wobei

\( \lambda = \text{ Ankunftsrate } \) und \( \mu = \text{ Servicerate } \) ist

Hier im Beispiel gilt \( \lambda = 20 \) und \( \mu = 30 \)

Damit ergibt sich \( W = \frac{1}{10} = 6' \) und

\( W_q = \frac{1}{15}=4' \)

so, dass sollte Teil (6) gewesen sein.

Aus dem angegebenen Link folgt auch, dass für die Verteilung der Wartezeit (inkl. Servicezeit) gilt

$$  P( W \le t ) = 1 - e^{-\mu \left( 1 - \frac{\lambda}{\mu} \right) t } $$

Das ergibt für \( t = \frac{1}{60} \)

$$ P( W \le t ) =  0.154 $$

So und das sollte (5) gewesen sein. Hier noch der Link

https://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&ved=0CD8QFjAF&url=https%3A%2F%2Fhomepage.univie.ac.at%2Fandreas.novak%2Fwsvo.pdf&ei=4neOVdvQKceBU5LXoIgF&usg=AFQjCNH0J4tHv8dROgCBUCBb9QtWbpzHmQ&bvm=bv.96783405,d.d24&cad=rja

Lies es mal durch und sag Bescheid ob das so ok ist, danke.