Zeige dass bei einem affinen Unterraum, jeder Punkt aus dem Unterraum als Aufpunkt verwendet werden kann.

Question

Sei V⊆U ein Untervektorraum von V und A⊆V ein affiner Vektorraum und p∈V. Dann gilt

A=p+U:={p+u|u∈U}

Zeigen Sie, dass in dieser Situation auch A=x+U für jeden Punkt x∈A gilt.

Bin mir bei meiner Lösung nicht ganz sicher. Ich wollte zeigen, dass A und x+U die gleichen Elemente besitzen.

Also sei y∈A <=> y∈p+U

<=> y-p∈U

<=> y-x+x-p∈U

<=> y-x+(x-p)∈U

<=> y-x∈U, da x∈A => x∈p+U => x-p∈U

<=> y∈x+U

Kann man das so machen oder muss ich das ausführlicher bzw. anders machen?

Answer 1

Bin mir bei meiner Lösung nicht ganz sicher. Ich wollte zeigen, dass A und x+U die gleichen Elemente besitzen.

Also sei y∈A <=> y∈p+U

<=> y-p∈U

<=> y-x+x-p∈U

<=> y-x+(x-p)∈U

hier vielleicht noch ein Argument wie

U ist ein Unterraum, also wenn die Summe

zweier Elemente aus U und der eine

Summand aus U, dann auch der andere.

<=> y-x∈U, da x∈A => x∈p+U => x-p∈U

<=> y∈x+U