Die Vorgabe
A1:= { (1,2,5)^T + λ1(0,1,0)^T + μ1(0,1,1)^T | λ,μ ∈ ℝ} ⊂ ℝ³
stimmt mit der Def. A= v+UA= {v+u | u∈ UA} überein.
Bei A1 ist eben (1,2,5)^T das v, also der "Aufhängepunkt" und durch
λ1(0,1,0)^T + μ1(0,1,1)^T werden die Elemente
des durch (0,1,0)^T und (0,1,1)^T aufgespannten Unterraumes
U von R^3 beschrieben, also hat A1 die dim=2.
Anschaulich ist A1 die Ebene durch den Punkt (1,2,5)
mit den Richtungsvektoren (Spannvektoren) (0,1,0)^T und (0,1,1)^T.
Für den Durchschnitt der beiden musst du nur Gleichsetzen
(1,2,5)T + λ1(0,1,0)T + μ1(0,1,1)T = (0,1,1)T + λ2(1,1,1)T + μ2(1,1,2)T
und erhältst ein Gl. System mit den 4 Variablen
λ1 , μ1 , λ2 , μ2
Darin kannst du so nach und nach zwei Variable eliminieren und bekommst z.B.
(je nach Rechnung auch etwas anderes)
λ2 + μ2 = 1 bzw. λ2 = 1 - μ2 . Das setzt du bei A2 ein und bekommst
für die Elemente von A1∩A2 die Darstellung
(0,1,1)^T + ( 1 - μ2 )*(1,1,1)^T + μ2(1,1,2)^T
= (1,2,2)^T + μ2*(0,0,1)^T.
Und für μ2 = -1 ergibt das den geforderten Wert v= (1,2,1)^T .
Und der zugehörige Untervektorraum ist der von (0,0,1)^T aufgespannte.
Der Schnitt ist also eindimensional ( also anschaulich eine
Gerade durch (1,2,1)^T bzw. durch (1,2,2)^T mit Richtungsvektor (0,0,1)^T.
Die gesuchte Darstellung also z.B.
A1 ∩ A2 = { (1,2,1)^T + t*(0,0,1)^T | t∈ℝ } mit dim=1.
