A und B sind orthogonal äquivalent genau dann, wenn sie die gleichen Singulärwerte haben?

Question

Zwei Matrizen A, B ∈ℝ^mxm heißen orthogonal äquivalent, falls eine orthogonale Matrix Q∈ℝ^mxm existiert, sodass A= QBQ^T .

Prüfen SIe, ob die Aussage "A und B sind orthogonal äquivalent genau dann, wenn sie die gleichen Singulärwerte haben" richtig ist.

Danke. :)

Answer 1

(1)  Wenn es eine orthogonale Matrix $Q\in\mathbb R^{m\times m}$ mit $A=QBQ^\mathsf T$ gibt, sind die Singulärwerte von $A$ und $B$ sicher identisch.
(2)  Wähle $A=-I$ sowie $B=I$. Die Singulärwerte von $A$ sind identisch mit denen von $B$. Für jede orthogonale Matrix $Q\in\mathbb R^{m\times m}$ gilt allerdings $QBQ^\mathsf T=QQ^\mathsf T=I\ne A.$

Comments

Vielen Dank für die Antwort!! :)

Den zweiten Punkt versteh ich, aber warum sind bei (1) die Singulärwerte dann sicher identisch?

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Die Eigenwerte von $A^\mathsf TA$ und $B^\mathsf TB$ sind gleich.