A und B sind orthogonal äquivalent genau dann, wenn sie die gleichen Singulärwerte haben?

Question

Zwei Matrizen A, B ∈ℝ^mxm heißen orthogonal äquivalent, falls eine orthogonale Matrix Q∈ℝ^mxm existiert, sodass A= QBQ^T .

Prüfen SIe, ob die Aussage "A und B sind orthogonal äquivalent genau dann, wenn sie die gleichen Singulärwerte haben" richtig ist.

Danke. :)

Answer 1

(1)  Wenn es eine orthogonale Matrix \(Q\in\mathbb R^{m\times m}\) mit \(A=QBQ^\mathsf T\) gibt, sind die Singulärwerte von \(A\) und \(B\) sicher identisch.
(2)  Wähle \(A=-I\) sowie \(B=I\). Die Singulärwerte von \(A\) sind identisch mit denen von \(B\). Für jede orthogonale Matrix \(Q\in\mathbb R^{m\times m}\) gilt allerdings \(QBQ^\mathsf T=QQ^\mathsf T=I\ne A.\)

Comments

Vielen Dank für die Antwort!! :)

Den zweiten Punkt versteh ich, aber warum sind bei (1) die Singulärwerte dann sicher identisch?

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Die Eigenwerte von \(A^\mathsf TA\) und \(B^\mathsf TB\) sind gleich.