Lösung der komplexen Gleichung (z^2+3)/(2z+2)=z^2/2

Question

Hallo Forum-Mitglieder,

ich komme nicht ganz damit klar, wie man folgende komplexe Gleichung löst:

Eigentlich ist das ganze ja klar: Man reduziert das ganze auf die Gleichung z^3=3. und diese Gleichung ist ja ganz klar. Aber irgendwie war das für Uni Mathe für einfach. Dann soll ich das ganze auch noch in die Form z= a+bi bringen. Wie geht dann das?

LG

Orbi

Answer 1

Hi,
mit \( z = re^{i\varphi} \) folgt \( z^3 = r^3e^{3i\varphi} \) also ist folgende Gleichung zu lösen
$$ r^3e^{3i\varphi} = 3  $$ Daraus folgt \( r = \sqrt[3]{3} \) und \( e^{3i\varphi} = 1 \) weil \( e^{3i\varphi} = e^{3i\varphi+2i\pi k} = e^{3i\left(\varphi + \frac{2\pi k}{3}\right)} = 1 \) gilt für \( k = 0,1,2 \) folgt \( \varphi = -\frac{2\pi k}{3} \) weil \( e^{i\varphi} = cos(\varphi)+isin(\varphi) \) gilt folgt \( z = \sqrt[3]{3} \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \)
Das stimmt mit der Lösung von GrosserLoewe überein.

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Jetzt bin ich total veriwrrt. Ich habe ullims Rechenweg nachgerechnet und so müsste es alles stimmen (so einen ähnlichen Weg habe ich auch beim Heuser gefunden. Aber hh911, warum soll das jetzt falsch sein?

LG

Orbi

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Hi Orbi, \(z=1\) ist ja nun offensichtlich keine Lösung, stimmt auch nicht mit Grosserloewes Ergebnissen überein und passt nicht zu seiner eigenen Rechnung. Mehr wollte ich eigentlich nicht sagen.

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Hi, ich habe da die \( \sqrt[3]{3} \) vergessen hinzuschreiben, sollte aber aus der Rechnung ersichtlich sein. Hab das in meinem Post korrigiert.

Answer 2

Die Umformung auf  z³=3 ist richtig. Jetzt gilt es die drei Lösungen anzugeben. Entweder man geht die drei Fälle mit dem Ansatz z=a+ib durch oder mit geht mit Moivre-Laplace vor (letzteres ist die angehnehmere Rechnung.) 

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Du meinst den Satz von (nur) de Moivre ;)

Und vielleicht doch eher die "Eulerformel"?

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Ich bin geradezu ferti g in Google nach dieser Formel zu suchen, aber irgendwie ist das doch eher Richtung Stochastik, oder? Und wie berechnet man dies nun mit der "Eulerformel"?

Answer 3

habs mal schnell gerechnet

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Vielen Dank Grosserloewe. Aber irgendwe we iß ich noch immer nicht, wie du überhaupt zu diesem Rechengeweg gekommen bist. Welche Formel hast du angewendet und wie?

LG
Zauberlerhling

Answer 4

Substituiere \(x=\dfrac z{\sqrt[3]3}\), löse \(0=x^3-1=(x-1)\cdot(x^2+x+1)\) und resubstituiere.