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Aufgabe 15.
(a) Warum gibt es keine Funktion \( f: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R} \) der Klasse \( C^{2} \) mit
$$ \begin{array}{c} {\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=x^{4}+x^{3} y \text { und } \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=x^{4}+y^{2}+1} \\ {\text { für alle }(x, y) \in \mathrm{R}^{2} ?} \end{array} $$
Folgern Sie, dass es überhaupt keine partiell differenzierbare Funktion mit dieser Eigenschaft gibt.

(b) Finden Sie alle partiell differenzierbaren Funktionen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \) R mit
$$ \begin{array}{c} {\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=x^{4}+x^{3} y \text { und } \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=\frac{1}{4} x^{4}+y^{2}+1} \\ {\text { für alle }(x, y) \in \mathrm{R}^{2} .} \end{array} $$
Aufgabe 16. Sei \( f: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \) R definiert durch:
$$ f(x, y):=\left\{\begin{array}{ccc} {\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}} & {\text { für }} & {(x, y) \neq(0,0)} \\ {0} & {\text { für }} & {(x, y)=(0,0)} \end{array}\right. $$
Zeigen Sie, dass \( f \) in ganz \( \mathrm{R}^{2} \) zweimal partiell differenzierbar ist und dass \( D_{1} D_{2} f(0,0) \neq \) \( D_{2} D_{1} f(0,0) \)


Ansätze:

Bei 15a) frage ich mich was ich da zeigen soll denn die partiellen ableitungen der Funktion:

f(x,y) = 1/5 x5 + 1/4 x4 y + 1/3 y3 + y

ergeben genau das was da steht. Und in b) wird sogar noch danach gefragt? Oder hat das was mit der Eigenschaft C2 zu tuen?

von
ooohjee verlesen!!

Ist klar das für die 15a) keine Funktion existiert.

Kann man das zeigen indem man zwei Integrale aufstellt, einmal mit dx und einmal dy und dann zeigt das man die nicht zusammenwursteln kann ? Oder reicht da nicht?

und zur 15b) reicht es dann wenn ich die oben genannte Funktion angebe ?
15 a) sollte man glaube ich Satz von Schwarz benutzen.

Zu b) kann mir vielleicht jemand etwas sagen.

1 Antwort

0 Daumen

Für (x,y) ≠ (0,0) weiß man dass f(x,y) zweimal partiell differentiarbar ist.

Also man muss nur zeigen dass f zweimal partiell differentiarbar ist wenn (x,y)=(0,0).
Um das zu machen, benutze die Definition wann eine Funktion partiell differentiarbar bei einen speziellen Punkt ist.

von 1,5 k

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