Polynom. x^3 -9x^2 + 26x -24 = 0 lösen.

Question

Polynom hilfe bei der berechnung

$$ { x }^{ 3 }-{ 9x }^{ 2 }+26x-24=0 $$

Wie kommt man auf (x-2)(x-3)(x-4)? Ich kann mich nicht mehr erinnern wie man solche Aufgaben macht.

Answer 1

Polynomdivision !!

x³  -9x² + 26x  -24   =  x²  -7x +12

-x³ +2x²

----------

0    - 7x²  +26x

+7x²  -14x

---------------

0      12x  -24

-12x  + 24

----------------

0         0

Das Ergebnis x² -7x +12  dann durch  (x -3) teilen ,  Ergebnis  : x-4 !!

---->  (  x-2 )  ( x-3 )  (  x - 4)  =  x³  -9x²  +26x -24 !!

Answer 2

Rate eine Nullstelle.

Da kommen die Teiler von 24 in Frage (plus und minus), wenn die Gleichung in einem Schulbuch steht.

Du wirst feststellen, dass x=2 passt.

Dann kannst du entweder weiterraten, bis du alle 3 Nullstellen hast, oder eine Polynomdivision durch (x-2) durchführen.

Es kommt ax^2 + bx + c raus (ohne Rest)

Nun kannst du die quadratische Gleichung ax^2 + bx + c =0 lösen und hast dann die beiden andern Lösungen u und v.

Die Faktorzerlegung für dein Polynom ist nun

f(x) = (x-2)(x-u)(x-v)

Answer 3

x^3 - 9·x^2 + 26·x - 24 = 0

Bei Polynomen 3. Grades ist es sinnvoll eine ganzzahlige Nullstelle zu suchen um dann eine Polynomdivision zu machen.

Wenn man einen TR hat kann man sich eine Wertetabelle machen. Man findet über eine Wertetabelle direkt die Nullstellen 2, 3 und 4.

Damit hat man schon direkt eine Faktorzerlegung

x^3 - 9·x^2 + 26·x - 24 = (x - 2)·(x - 3)·(x - 4)