(x^4 + 13·x^2 - 30·x + 16)/(x^4 - 2·x^2 + 1)
Um zu Faktorisieren untersuchen wir den Zähler und Nenner getrennt auf Nullstellen.
x^4 + 13·x^2 - 30·x + 16 = 0
Wir suchen und finden eine Nullstele bei 1 und machen eine Polynomdivision
(x^4 + 13·x^2 - 30·x + 16) / (x - 1) = x^3 + x^2 + 14·x - 16
Wir suchen und finden erneut eine Nullstele bei 1 und machen eine Polynomdivision
(x^3 + x^2 + 14·x - 16) / (x - 1) = x^2 + 2·x + 16
Hier gibt es keine weiteren Nullstellen mehr. Damit lautet der Zähler Faktorisiert
x^4 + 13·x^2 - 30·x + 16 = (x - 1)^2·(x^2 + 2·x + 16)
Nun untersucht man den Nenner
x^4 - 2·x^2 + 1 = 0
Wir erkennen die 2. binomische Formel
(x^2 - 1)^2 = 0
Nun erkennt man noch die 3. binomische Formel
((x + 1)(x - 1))^2 = 0
Damit lautet die Faktorzerlegung des Nenners
x^4 - 2·x^2 + 1 = (x + 1)^2·(x - 1)^2
Unser Bruch lautet also
(x^4 + 13·x^2 - 30·x + 16)/(x^4 - 2·x^2 + 1)
= (x - 1)^2·(x^2 + 2·x + 16) / ((x + 1)^2·(x - 1)^2)
Man kürzt (x - 1)^2 und erhält
= (x^2 + 2·x + 16) / (x + 1)^2
Damit sind wir fertig.
