Grenzwert n->00 (wurzel(n^6+3n^2) -n^3) / (wurzel(4n^6+5n^2+7)-2n^3)

Question

Guten abend

bräuchte wieder einmal einen kompletten Lösungsweg für diese Grenzwertaufgabe.Darf L´hospital nicht verwenden.

$$\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \quad \frac { \sqrt { { n }^{ 6 }+3{ n }^{ 2 } } -{ n }^{ 3 } }{ \sqrt { { 4n }^{ 6 }+{ 5n }^{ 2 }+7 } -{ 2n }^{ 3 } } $$

Dankeschön

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Anscheinend hat noch ein + gefehlt.

Answer 1

Klammere \( n^3 \) im Zähler und im Nenner aus. Dann siehst Du das Ergebnis.

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habs ausgeklammert.

$$\frac { \frac { \sqrt { { n }^{ 6 }+{ 3n }^{ 2 } } -1 }{ { n }^{ 3 } }  }{ \frac { \sqrt { { 4n }^{ 6 }+{ 5n }^{ 2 }+7 }  }{ { n }^{ 3 } } -2 } $$

Aber ich sehe die Lösung nicht.

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muss mich korrigieren, So hab ich ausgeklammert:

$$\frac { \frac { \sqrt { { n }^{ 6 }+{ 3n }^{ 2 } }  }{ { n }^{ 3 } } -1 }{ \frac { \sqrt { { 4n }^{ 6 }+{ 5n }^{ 2 }+7 }  }{ { n }^{ 3 } } -2 }  $$

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Und jetzt die \( n^3 \) im Nenner jeweils in die Wurzel nehmen und dann kürzen.

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habe 1/2 als ergebnis. ist das richtig?

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Das Kürzen mit \(n^3\) führt doch dazu, dass man sieht, dass der Zähler und Nenner gegen Null gehen. Damit ist man der Lösung aber doch noch nicht näher oder überseh ich da was?

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Nein, da hast Du Recht. Vorher war aber die Aufgabe anders gestellt. Ich habe das korrigiert  und an der richtigen Stelle ein + eingefügt. Bei der ursprünglichen Aufgabenstellung hätte es so funktioniert wie vorgeschlagen. Jetzt muss man so erweitern, dass man auf Zähler und Nenner die dritte Binomischeformel anwenden kann, und dann kann man durch \( n^3 \) noch kürzen  und das ergibt das Ergebnis \( \frac{6}{5} \)

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ich komme einfach nicht auf das ergebnis. habe alle vorschläge benutzt.

kann mir bitte jemand den rechenweg nach der 3.bin formel zeigen?

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Hi,
$$ \frac{ \sqrt{n^6 + 3n^2} - n^3 }{\sqrt{ 4n^6 + 5n^2 + 7} -2n^3 } $$
$$=  \frac{ \sqrt{n^6 + 3n^2} - n^3 }{\sqrt{ 4n^6 + 5n^2 + 7} -2n^3 } \cdot \frac{ \sqrt{n^6 + 3n^2} + n^3 }{\sqrt{n^6 + 3n^2} + n^3 } \cdot \frac{ \sqrt{4n^6 + 5n^2 + 7} + 2n^3 }{\sqrt{4n^6 + 5n^2+7} + 2n^3 } $$
$$= \frac{n^6+3n^2-n^6}{4n^6+5n^2+7-4n^6} \cdot \frac{\sqrt{4n^6 + 5n^2 + 7} + 2n^3}{\sqrt{n^6 + 3n^2} + n^3} $$
$$= \frac{3n^2}{5n^2+7}\frac{n^3 \left( \sqrt{4+5\frac{n^2}{n^6}+\frac{7}{n^6}}+2 \right) }{n^3\left(\sqrt{1+3\frac{n^2}{n^6}}+1\right)} $$
$$= \frac{3}{5+\frac{7}{n^2}} \cdot \frac{ \sqrt{4+\frac{5}{n^4}+\frac{7}{n^6}}+2 }{\sqrt{1+\frac{3}{n^4}}+1} $$
Der erste Faktor geht gegen \( \frac{3}{5} \) und der zweite gegen \( \frac{\sqrt{4}+2}{\sqrt{1}+1}= 2 \) Also ist das Ergebneis $$ \frac{3}{5}\cdot 2 = \frac{6}{5}  $$

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hab einen flüchtigkeitsfehler gemacht. Deswegen  kam ich nicht aufs ergebnis.

Vielen Dank für die ganze Mühe

Answer 2

ich habe getrennt den kompletten Zähler  mit  +n^3 multipliziert  und dann auch den kompletten Nenner mt

+2 n^3 . (dann jeweils Zähler und Nenner )

Ergebnis:

6/5