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Wie betrachten den Vektorraum Abb(ℕ;ℝ) aller reellwertigen Zahlenfolgen. Darin betrachten wir
U := { (an)n ∈ Abb(ℕ;ℝ)| an+2 = an+1 + an }
Zeigen Sie:
1. U ist ein Untervektorraum
2. U ist endlich erzeugt

Wie geht man hierbei vor?

von

1 Antwort

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Ich hoffe mal, dass es nicht zu spät ist. Aber ich kann dir auch nur bei 1 helfen. Hier mal die Untervektorraum-Axiome die ich im Nachhinein beantworten werde:

1. U ≠ ∅

2. v, w ∈ U ⇒ v + w ∈ U

3. v ∈ U, λ ∈ ℝ ⇒ v * λ ∈ U

 

Zu 1:

Da das Element {0,0,0,0,...} ∈ U ist, ist U ≠ ∅

Zu 2:

aund a1 dürfen belieblig sein, da deine Bedingung erst ab dem dritten Element gilt.

v := {v0,v1,v2,...}, w := {w0,w1,w2,...} ∈ U

x := v + w

x = {v0 + w0, v+ w1, ...}

⇒ xn+2 = (vn+1 + vn) + (wn+1 + wn) = (vn+1 + wn+1) + (vn + wn) = xn+1 + xn

⇒ x ∈ U (also v + w ∈ U)

Zu 3:

v := {v0,v1,v2,...}, λ ∈ ℝ

v * λ := {v* λ,v1 * λ,v* λ,...}

⇒vn+2 = (vn+1 + vn) * λ = (vn+1 * λ) + (vn * λ)

⇒ v * λ ∈ U

 

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

von

Hm... also zu dem Punkt "endlich erzeugt" (In einem Kommentar da ich meine obigen Post nicht mehr ändern kann...):

also die zwei kleinsten Elemente aus U sind ein Erzeugendensystem:

v := {0,1,1,2,3,5,...}
w := {1,1,2,3,5,8,...}

Sei u ∈ U ein beliebiges Element, so gilt:

u = u0 * w + (u1 - u0) * v

Ich hab leider keine Ahnung wie man das Beweist...

@Anonym. Deine Behauptung im Kommentar erinnert an die Differenzeneigenschaft der Fibonacci-Zahlen hier:

https://www.mathelounge.de/26100/fibonacci-folge-zahlenfolge

Weiss nicht, ob man damit diesen Beweis machen kann. Auch nicht, ob  das zum gleichen Kurs gehört.

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