Wie zeige ich, dass U := { (an)n∈ℕ ∈ Abb(ℕ;ℝ)|an+2 = an+1 + an } ein Untervektorraum ist und endlich erzeugt ist?

Question

Wie betrachten den Vektorraum Abb(ℕ;ℝ) aller reellwertigen Zahlenfolgen. Darin betrachten wir
U := { (a_n)_n∈ℕ ∈ Abb(ℕ;ℝ)| a_n+2 = a_n+1 + a_n }
Zeigen Sie:
1. U ist ein Untervektorraum
2. U ist endlich erzeugt

Wie geht man hierbei vor?

Answer 1

Ich hoffe mal, dass es nicht zu spät ist. Aber ich kann dir auch nur bei 1 helfen. Hier mal die Untervektorraum-Axiome die ich im Nachhinein beantworten werde:

1. U ≠ ∅

2. v, w ∈ U ⇒ v + w ∈ U

3. v ∈ U, λ ∈ ℝ ⇒ v * λ ∈ U

 

Zu 1:

Da das Element {0,0,0,0,...} ∈ U ist, ist U ≠ ∅

Zu 2:

a₀ und a₁ dürfen belieblig sein, da deine Bedingung erst ab dem dritten Element gilt.

v := {v₀,v₁,v₂,...}, w := {w₀,w₁,w₂,...} ∈ U

x := v + w

x = {v₀ + w₀, v₁ + w₁, ...}

⇒ x_n+2 = (v_n+1 + v_n) + (w_n+1 + w_n) = (v_{n+1 +} w_n+1) + (v_n + w_n) = x_n+1 + x_n

⇒ x ∈ U (also v + w ∈ U)

Zu 3:

v := {v₀,v₁,v₂,...}, λ ∈ ℝ

v * λ := {v₀ * λ,v₁ * λ,v₂ * λ,...}

⇒v_n+2 = (v_n+1 + v_n) * λ = (v_n+1 * λ) + (v_n * λ)

⇒ v * λ ∈ U

 

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

Comments

Hm... also zu dem Punkt "endlich erzeugt" (In einem Kommentar da ich meine obigen Post nicht mehr ändern kann...):

also die zwei kleinsten Elemente aus U sind ein Erzeugendensystem:

v := {0,1,1,2,3,5,...}
w := {1,1,2,3,5,8,...}

Sei u ∈ U ein beliebiges Element, so gilt:

u = u₀ * w + (u₁ - u₀) * v

Ich hab leider keine Ahnung wie man das Beweist...

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@Anonym. Deine Behauptung im Kommentar erinnert an die Differenzeneigenschaft der Fibonacci-Zahlen hier:

https://www.mathelounge.de/26100/fibonacci-folge-zahlenfolge

Weiss nicht, ob man damit diesen Beweis machen kann. Auch nicht, ob  das zum gleichen Kurs gehört.