Beweis Untervektorraum W:= { f∈V | f(n) + f (n+1) + f (n+2) = 0 für alle n∈ℕ } von V:= Abb (ℕ, K)

Question

Es seien K ein Körper und V:= Abb(ℕ, K) der Vektorraum der Abbildungen von ℕ nach K. Des Weiteren sei:
W:= { f∈V | f(n) + f(n+1) + f(n+2) = 0 für alle n ∈ ℕ }.
a) Zeigen Sie, dass W ein Untervektorraum von V ist.
b) Zeigen Sie, dass W endlich ist.
HINWEIS: Zeigen Sie zunächst per Induktion, dass für Elemente f, g ∈ W mit f(1) = g(1) und f(2) = g(2) bereits f=g gilt.
c) Bestimmen Sie die Dimension von W.

Das Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich die Eigenschaft f(n) + f(n+1) + f(n+2) = 0 bei der Anwendung der Axiome berücksichtigen soll.

z.B. bei (a) Die Axiom eines UVR sind i) 0 ∈ W ii) ∀λ∈K ∀f∈W: λ*f∈W und iii) ∀f,g∈W: f+g∈W
Aber wie kann ich z.B bei ii) die Eigenschaft mit reinbringen? Mein Ansatz war, dass es ja dadurch dass die Eigenschaft für alle n aus den natürl. Zahlen gibt es auch für alle Vielfachen gilt? 
Und wenn ich bei iii) schreibe für (f+g)(x) gilt : (f+g)(n) + (f+g)(n+1) + (f+g)(n+2) = 0 daher liegt f+g in W oder kann man das so nicht schreiben? 

Außerdem fehlt mit bei der Induktion der Induktionsanfang, was aber wahrscheinlich daran liegt, dass ich einfach nicht weiß, wie ich mit der Definition von W umgehen soll. 

Wäre super, wenn mir jemand mit ein paar Tipps und Anregungen zum besseren Verständnis helfen könnte :)

Comments

Habe folgendes nun gemacht: 
ii) λ*(f(n)+f(n+1)+f(n+2))=0 Da f(n)+f(n+1)+f(n+2)=0 und Multiplikation mit 0 immer null ergibt. Dager liegt λ*f ebenfalls in W.
iii) (f+g)(x) = f(x)+g(x) => f(x)+f(x+1)+f(x+2)+g(x)+g(x+1)+g(x+2) muss 0 sein und da die einzelnen Summanden null ergeben per Def. ergibt auch die Summe aus 0+0 = 0 und f+g liegt in W.

Aber wie komme ich auf die Nullabbildung?

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Induktion: 
für alle f,g aus W mit f(1)=g(1) und f(2)=g(2) soll f=g gelten:
IA: x=1 => f(1)+f(2)+f(3)=g(1)+g(2)+g(3)=0
=> g(3)=f(3) und f=g
IV: wie oben beschrieben.
IB ???
und dann weiß ich nicht weiter, sofern das bisher korrekt ist?
Mit welchen Elementen arbeite ich dann in der Induktion? f Muss ich einfach von x auf x+1 nehmen wie gewohnt in der Induktion? Nur wie krieg ich das dann alles zusammen?

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"Aber wie komme ich auf die Nullabbildung?"

Du hast doch schon \(\lambda f\in W\) für alle \(\lambda\in K\). Mit \(\lambda=0\) folgt \(0\in W\). Das musst Du nicht extra zeigen. Ausser Du hast Bedenken, dass \(W=\emptyset\) ist.

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Also ich verstehe warum es zweidimensional ist und somit die Dimension von W = 2 ist. Aber wie mache ich denn jetzt die induktion von b? Wie sieht W denn überhaupt aus? Es soll ja die Menge der Abbildungen sein - aber eigentlich ist es als vektorraum doch eine Menge von Vektoren oder nicht?

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Vektor ist nur ein Wort. Die Abbildungen sind die "Vektoren". Da es sich um Abbildungen von \(\mathbb{N}\) nach  \(K\) handelt, kann man sie auch als Folgen betrachten: \((f(0), f(1), f(2), \ldots)\). Oder von mir aus als Vektoren mit abzaehlbar unendlich vielen Komponenten. Ein Beispiel für ein Element aus \(W\) steht unten.

Answer 1

Zu den weiteren Teilen: Wenn man das für einige kleine n mal aufschreibt, sieht man sofort, dass \(f(0)=f(3)\), \(f(1)=f(4)\) und \(f(2)=f(5)\) ist, usw. Saemtliche Werte wiederholen sich im Dreierpack., z.B. \((f(n))_{n=0}^\infty=(1, 2, -3, 1, 2, -3, \dots)\) und die Summe pro Dreierpack ist null. Zwei Werte kann man beliebig vorgeben, der dritte ist dann ueber die Summenbedingung festgelegt. Bei zwei Freiheitsgraden wird \(W\) also zweidimensional sein.

Comments

Vielleicht ist es eine blöde Frage, aber warum ist f(1)=f(4)? Das sehe ich nicht direkt, woher nimmst du das?