Question

Sei Pi eine beliebige Permutation. Betrachte nun die Menge M={ Pi^i : i = 1,2,3,4,...}
1.Warum ist M endlich?

2.Was ist |M|?

3. Ist id element aus M ?


Zur Frage 1: Ich kann mir nicht vorstellen, dass M endlich ist, da M ja aus pi^ 1pi^2 pi^4 pi^3 usw.... besteht.
Zur Frage 2: |M| könnte |M|=1 sein, weil in M nur ein Element enthalten ist und zwar Pi. oder |M| ist unendlich

Zur Frage 3: verstehe ich gar nicht was sie mit Identität element aus M meinen... Identität von was ist element aus M?


Bitte um Hilfe

Comments

1. Betreffen bei euch Permutationen zwingend nur endlich viele Objekte?

2. Ist irgendeine Menge gegeben auf der Permutationen betrachtet werden?

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So sieht die Frage aus, es sind leider keine weiteren Angaben vorhanden :/

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Kann man überhaupt unendlich viele Zahlen permutieren? Eher nicht oder? Weil wenn nicht dann ist die Menge endlich, weil man irgendwann wieder bei der selben Zahl landet.

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@Anonym: Wenn man die ganzen Zahlen zugrundelegt, kann man doch zu jedem Element von Z eine 1 addieren und erhält wieder alle ganzen Zahlen.

Wenn man das mehrfach macht, ergeben sich Verschiebungen um 2, 3,4,… Einheiten. Das heisst man könnte durch Verknüpfung (entspricht Potenzieren) unendlich viele verschiedene Permutationen erzeugen. M wäre nicht endlich.

Jetzt wollte ich nur wissen, ob so was erlaubt ist. Das sollte ja in einer Definition von Permutation stehen. In der Wikipedia steht nun, dass in der Gruppentheorie normalerweise endliche Mengen gemeint sind.

https://de.wikipedia.org/wiki/Permutation

Es müsste sich also wegen a) um Gruppentheorie und den Normalfall handeln.

Answer 1

Sei Pi eine beliebige Permutation. Betrachte nun die Menge M={ Piⁱ : i = 1,2,3,4,...}0 PunkteSei Pi eine beliebige Permutation. Betrachte nun die Menge M={ Piⁱ : i = 1,2,3,4,...}  

1.Warum ist M endlich?

2.Was ist |M|?

3. Ist id element aus M ?

Zur Frage 1: Ich kann mir nicht vorstellen, dass M endlich ist, da M ja aus pi^ 1pi² pi⁴pi³ usw.... besteht.  

Mein Kommentar oben: Die Menge der Objekte muss endlich sein. Sie habe k Elemente. Muss ja eine Permutation jedem Element entweder genau ein anderes oder sich selbst zuordnen. Das geht auf k*(k-1)*(k-2)...*1 = k! Arten. Da bei p^i (Ich Schreibe nicht p statt pi) nur Permutationen erzeugt werden können, kann M so nicht mehr als k! verschiedene Elemente enthalten.

 

Zur Frage 2: |M| könnte |M|=1 sein, weil in M nur ein Element enthalten ist und zwar Pi. oder |M| ist unendlich

|M| = 1 genau dann, wenn p die Identität ist, d.h. jedes Element sich selbst zuordnet. In 1. habe ich bereits eine obere Grenze |M| ≤ k!.

ist p etwas anderes als die Identität, enthält p Zyklen. Maximale Länge eines Zyklus ist k. (Minimale 2). jetzt musst du dir überlegen, wann das erste Mal die Identität erzeugt wird. Das ist dann der Fall, wenn i das kgV der Zyklenlängen ist. Nun geht's mit den bereits bekannten Permutationen weiter.

|M|=kgV der Zyklenlängen von p.

Zur Frage 3: verstehe ich gar nicht was sie mit Identität element aus M meinen... Identität von was ist element aus M?

Ja. Das habe ich soeben in 2. begründet.