Jordan-Basis einer 6*6-Matrix A((6 8 3 1 2 1)(… ) bestimmen

Question

Ich würde gerne wissen, wie ich eine Jordan-Basis der R-linearen Abbildung f_A: ℝ⁶ → ℝ⁶ bestimme:

\( A=\left(\begin{array}{cccccc}6 & 8 & 3 & 1 & 2 & 1 \\ -2 & -3 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ -2 & -2 & -1 & 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ -6 & -8 & -3 & -1 & -2 & -1 \\ -4 & -5 & -2 & 0 & -1 & -1\end{array}\right) \)

Die Jordansche Normalform ist:

\( J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \)

Ansatz/Problem:

Irrgendwie muss man jetzt anfangen den Kern von A zu berechen, aber da hakt es bei mir schon. Ich weiß man muss dazu Ax=0 verwenden aber bei mir kommt da nichts gutes raus. Und wie mach ich dann weiter?

Answer 1

Um die Jordan-Basis der R-linearen Abbildung fA: ℝ6 → ℝ6 zu bestimmen, müssen Sie die Nullstellen der Abbildung bestimmen und diese dann durch die Jordan-Zellen ersetzen. In diesem Fall ist die Jordansche Normalform von A bereits gegeben und enthält Nullstellen auf der Hauptdiagonale.

Daher müssen Sie nur die Eigenvektoren der Nullstellen bestimmen. Diese können Sie erhalten, indem Sie die Gleichung (A - λI)v = 0 lösen, wobei λ die Nullstelle und v der Eigenvektor ist. Lösen Sie diese Gleichung für jede Nullstelle auf der Hauptdiagonale (in diesem Fall 0) und bestimmen Sie so die Eigenvektoren.

Danach bilden Sie die Linearkombination dieser Eigenvektoren, um eine Basis für die Nullstellen-Eigenschaftraum zu bilden. Diese Basis wird als Jordan-Basis bezeichnet.