Wie zeige ich diese Divergenz von Reihe mathematisch? Reihe sin(1/n) mit n=1 bis zum unendlich.

Question

Reihe sin(1/n) mit n=1 bis zum unendlich

Klar ist mir, dass diese Reihe divergiert, da die harmonische Reihe 1/n divergent ist, aber wie kann ich das mathematisch nachzeigen?

Comments

Erklaere doch mal, warum der Sachverhalt "klar" ist.

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SIN(x) kann für x --> 0 angenähert werden durch x. Damit hat man die harmonische Reihe.

Ich würde das Quotientenkriterium nehmen.

LIM (n --> ∞) (SIN(1/(n + 1)) / SIN(1/n)) = 1

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jb421 :   Wenn du auch nur einen einzigen Punkt für deine Lösung haben willst, solltest du diese Antwort nicht übernehmen.

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Wenn Du \(\lim{a_{n+1}\over a_n}\) betrachtest, dann muss da etwas echt \(>1\) rauskommen, um auf Divergenz schliessen zu koennen. Wenn Du \({a_{n+1}\over a_n}\) direkt betrachtest, reicht \(\ge1\) für fast alle n für die Divergenz. Das ist hier aber nicht so.

Answer 1

Es gilt \( \sin(x) \ge \frac{1}{2}x \)

Damit folgt \( \sin\left( \frac{1}{n}  \right) \ge \frac{1}{2n} \) und deshalb divergiert die Reihe \( \sum_{k=1}^n \sin \left( \frac{1}{k} \right) \)