Amplitude und Phasenverschiebung der harmonischen Schwingung s(t)=s1(t) +s2(t) bestimmen

Question

Bestimmen sie Amplitude und Phasenverschiebung der harmonischen Schwingung s(t)=s₁(t) +s₂(t) wobei s₁(t)=2cos(2t- π/6) und s₂(t)=4cos (2t+π/2)

Wie kann man solche Aufgaben lösen?

Answer 1

Hallo Mervec
 

Deinen anderen Fragen nach zu schließen behandelt ihr gerade die Komplexen Zahlen. Und genau die können auch verwendet werden um Deine Aufgabe zu lösen ...
 

1. Terme der Gleichung werden umgewandelt in Summen aus komplexer und konjugiert-komplexer Zahl:
2*cos(2*t-pi/6) +4*cos (2*t+pi/2) =
= 2 * [ cos(2t-pi/6)+i*sin(2t-pi/6) + cos(2t-pi/6)-i*sin(2t-pi/6) ] *1/2 +
  + 4 * [ cos(2t+pi/2)+i*sin(2t+pi/2) + cos(2t+pi/2)-i*sin(2t+pi/2) ] *1/2;

2. Umwandlung in exponentielle Schreibweise:
[ exp{(2t-pi/6)*i} + exp{-(2t-pi/6)*i} ] +
  + 2 * [ exp{(2t+pi/2)*i} + exp{-(2t+pi/2)*i} ] =
= exp{2t*i}*exp{-pi/6*i}  +  exp{-2t*i}*exp{pi/6*i} +
  +  2*exp{2t*i}*exp{pi/2*i}  +  2*exp{-2t*i}*exp{-pi/2*i};

3. Sortieren, Ausklammern:
exp{2t*i} * [ exp{-pi/6*i} + 2*exp{pi/2*i} ] +
+ exp{-2t*i} * [ exp{pi/6*i} + 2*exp{-pi/2*i} ] =

4. Terme in eckigen Klammern umwandeln:
[ exp{-pi/6*i} + 2*exp{pi/2*i} ] = sqrt(3)*exp{pi/3};
[ exp{pi/6*i} + 2*exp{-pi/2*i} ] = sqrt(3)*exp{-pi/3};

5. Zusammensetzen:
sqrt(3)*exp{2t*i}*exp{pi/3} = sqrt(3)*exp{ (2t+pi/3)*i };
sqrt(3)*exp{-2t*i}*exp{-pi/3} = sqrt(3)*exp{ -(2t+pi/3)*i }

6. Zusammenfassen (Addition zweier konjugiert-komplexer Zahlen):
2*sqrt(3)*cos(2t+pi/3);

7. Ergebnis ablesen:
Amplitude         Phasenverschiebung
2*sqrt(3)  *  cos(2t       +pi/3);

 

Bitte kritisch prüfen. Beim eingeben am Computer passieren leicht Fehler. Falls Dir was auffällt oder Du etwas nicht verstehst --> Kommentar.

lg JR