Linearfaktorzerlegung von x^4 - 6x^2 + x-3 mit Rechenweg

Question

wie geht die Linearfaktorzerlegung bei diesem Bsp:  x^4 - 6x^2  + x-3

Danke

Answer 1

Hallo

Alle Gleichungen 4. Grades mit reellen Koeffizienten sind exakt lösbar, also nicht ausschließlich durch ein Näherungsverfahren. Es gibt nämlich eine Formel zur direkten Auflösung von x^4 +p x^2 +q x + r = 0, nachdem eine Gleichung 3. Grades, nämlich
P^3 -p/2 P^2 -r P +pr/2 -q^2/8 = 0,
geloest worden ist. Beachte bitte, dass hier P und p verschiedene Zahlen sind !

x1,2 = -q/|q| * (-p/4 +P/2)^0.5 +/- ( -p/4 -P/2 +(P^2 -r)^0.5 )^0.5 
x3,4 = +q/|q| * (-p/4 +P/2)^0.5 +/- ( -p/4 -P/2 -(P^2 -r)^0.5 )^0.5    Auflösung nach Tartaglia bzw. Ferrari
Der Rechen-Ansatz zum Finden der oben genannten Gleichung 3. Grades lautet:
(x^2 +P)^2 = (Q x +R)^2
Durch  Koeffizienten-Vergleich der ausgerechneten und zusammengefaßten Potenzen mit den Koeffizienten p, q, r der Gleichung 4. Grades ergibt sich die Gleichung in P^3
Die zweithöchste Potenz in der Gleichung 4. Grades (falls vorhanden, 3. Grad) und 3. Grades (falls vorhanden, 2. Grad) läßt sich durch Substitution entfernen. Nennen wir diesen existenten zweithöchsten Grad a, dann substituierst Du einfach in einer Gleichung y^4 +a y^3 +b y^2 +c y +d = 0 die Variable y durch x -a/4 und in der Gleichung 3. Grades die Variable P durch PP +p/6

Diese exakte Rechnung mag Dir zum Beispiel als Kontrolle dienen.

1 -6 1 -3

f(x) = x^4 -6 x^2 +x -3 = 0

g(P) = P^3 +3 P^2 +3 P +9 -1/8 = 0

(P +1)^3  -1+9 -1/8 = 0

(P +1)^3 = -(8 -1/8) = -63/8

P = -1 -(63/8)^{1/3} = -2.989528604  => g(P) = 0

x1,2 = -(+1)/|+1| * (+3/2 +P/2)^0.5  +/- ( +3/2 -P/2 +(P^2 +3)^0.5 )^0.5 = -0.072358123 +/- 2.539645918

=> x1  = +2.467287795 V  x2 = -2.612004041 => f(x1) =  0 V f(x2) = 0

x1,2 = +(+1)/|+1| * (+3/2 +P/2)^0.5 +/- ( +3/2 -P/2 -(P^2 +3)^0.5 )^0.5 = +0.072358123 +/- i * 0.678434068

= A +/- i B

=> f(x1) = (A^4 +6 A^2 (-B^2) +B^4) -6 (A^2 -B^2) +A -3    + i * (4 A^3 B -4 A B^3 -6*2 A B +B)

= (A^4 -(6 B^2 +6) A^2 +A +B^4 +6 B^2 -3    + i * (4 A^3 -(4 B^2 +12) A +1) * B

=  0 + i * 0

V f(x2) = (A^4 +6 A^2 (-B^2) +B^4) -6 (A^2 -B^2) +A -3    + i * (-4 A^3 B -4 A (-B)^3 -6*2 A (-B) -B)

= (A^4 -(6 B^2 +6) A^2 +A +B^4 +6 B^2 -3    + i * (-4 A^3 +(4 B^2 +12) A -1) * B

=  0 + i * 0

Answer 2

Du brauchst ein Näherungsverfahren. (Newton) Es gibt  2 reelle und 2 komplexe Nullstellen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factorise++x^4+-+6x^2++%2B+x-3

Comments

Und was heißt das jetzt, dass es keine Lösung gibt?

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Die Lösung steht im Link. Es gibt 4 Faktoren.

Answer 3

Tolle Sonderfall-Aufgabe! (Schreibfehler? Solche Aufgaben können nicht mal einfache Studenten exakt lösen)

Oder sollt Ihr Newtons Näherungsformeln anwenden?

Normalerweise kann jede Gleichung 4. Grades exakt mit

a) kubischer Hilfsgleichung + Cardanische Formel

und

b) PQRSTUVW Formel gelöst werden.

Hier ist jedoch T=0, also b) unbestimmte Polstelle, d.h. nur über Algorithmus a) was auch Gast jc213 beschrieben hat.

2 reelle Nullstellen { sqrt(x)=Wurzel(x) }:

x1,2=(-sqrt(4-3^{2/3}*7^{1/3}) +/- sqrt(8+3^{2/3}*7^{1/3}+2/sqrt(4-3^{2/3}*7^{1/3})))/2

und 2 komplexe Nullstellen:
x3,4= (sqrt(4-3^{2/3}*7^{1/3}) +/- sqrt(8+3^{2/3}*7^{1/3}-2/sqrt(4-3^{2/3}*7^{1/3})))/2

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

rechnet alles vor (da 2 verschiedene Algorithmen, stimmen Zahlenwerte von Cardan. {x1,2} nicht mit Formel von PQRSTUVW überein {ist hier x3,4}):

Comments

interessant:

die größere Nullstelle, also

(-sqrt(4-3^{2/3}*7^{1/3})+sqrt(8+3^{2/3}*7^{1/3}+2/sqrt(4-3^{2/3}*7^{1/3})))/2

stimmt mit

1/{3x^4-x³+6x²-1=0 nahe x=0.4...} überein und kann per Algo. b) PQRSTUVW exakt bestimmt werden!!

=1/{1/12+[1/sqrt(3/[71/sqrt((7/3)^{1/3}-47/36)-36*3^{2/3}*7^{1/3}-282])-6sqrt((7/3)^{1/3}-47/36)]/12}

anders:

(-sqrt(4-3^{2/3}*7^{1/3})+sqrt(8+3^{2/3}*7^{1/3}+2/sqrt(4-3^{2/3}*7^{1/3})))/2-1/{1/12+[1/sqrt(3/[71/sqrt((7/3)^{1/3}-47/36)-36*3^{2/3}*7^{1/3}-282])-6sqrt((7/3)^{1/3}-47/36)]/12}

=0